Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2625
2019-03-30 
Найти наибольшее значение функции $y = \sin 2x \sin \left( 2x - \frac{\pi}{6} \right )$.
При каких значениях $x$ оно достигается?
Решение:
Воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в разность косинусов
$y = \frac{1}{2} \left [ \cos \frac{ \pi}{6} - \cos \left ( 4x - \frac{ \pi}{6} \right ) \right ] = \frac{ \sqrt{3}}{4} - \frac{1}{2} \cos \left (4x - \frac{ \pi}{6} \right )$.
Чтобы функция $у$ достигла своего наибольшего значения, нужно положить
$\cos \left ( 4x - \frac{\pi}{6} \right ) = -1$,
откуда $x = \frac{ \pi}{24} + \frac{ \pi}{4} (2n+1) = \frac{ \pi n}{2} + \frac{7 \pi}{24}$. Наибольшее значение функции равно
$y_{max} = \frac{ \sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}$.
Ответ. При $x = \frac{ \pi n}{2} + \frac{7 \pi}{24}, y_{max} = \frac{ \sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}$.
Найти наибольшее значение функции $y = \sin 2x \sin \left( 2x - \frac{\pi}{6} \right )$.
При каких значениях $x$ оно достигается?
Решение:
Воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в разность косинусов
$y = \frac{1}{2} \left [ \cos \frac{ \pi}{6} - \cos \left ( 4x - \frac{ \pi}{6} \right ) \right ] = \frac{ \sqrt{3}}{4} - \frac{1}{2} \cos \left (4x - \frac{ \pi}{6} \right )$.
Чтобы функция $у$ достигла своего наибольшего значения, нужно положить
$\cos \left ( 4x - \frac{\pi}{6} \right ) = -1$,
откуда $x = \frac{ \pi}{24} + \frac{ \pi}{4} (2n+1) = \frac{ \pi n}{2} + \frac{7 \pi}{24}$. Наибольшее значение функции равно
$y_{max} = \frac{ \sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}$.
Ответ. При $x = \frac{ \pi n}{2} + \frac{7 \pi}{24}, y_{max} = \frac{ \sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}$.
