Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2623
2019-03-30 
Найти основной период функции $y = \cos \frac{3x}{2} - \sin \frac{x}{3}$.
Решение:
Период функции $\cos \frac{3x}{2}$ равен $T_1 = 2 \pi : \frac{3}{2} = \frac{ 4 \pi}{3}$, а период функции $\sin \frac{ x}{3}$ равен $6 \pi$.
Наименьшее общее кратное этих периодов будет $12 \pi$. Очевидно, что $12 \pi$ - период данной функции. Докажем, что это - основной период.
Пусть существует период $\tau$ такой, что $0 < \tau < 12 \pi$. Тогда имеем тождество
$\cos \frac{3}{2} (x + \tau) - \sin \frac{x+ \tau}{3} - \cos \frac{3}{2} x + \sin \frac{x}{3} = 0$,
или
$\sin \frac{3}{4} \tau \sin \frac{3}{4} (2x + \tau) + \sin \frac{ \tau}{6} \cos \frac{ 1}{6} (2x + \tau) = 0$.
Так как $\tau < 12 \pi$, a $\frac{3}{4} \tau = \frac{3 \tau}{4 \pi} \pi$ и $\frac{ \tau}{6} = \frac{ \tau}{6 \pi} \pi$, то одно из чисел $\frac{ 3 \tau}{4 \pi}$ или $\frac{ \tau}{6 \pi}$ не является целым, т. е. по крайней мере одно из чисел $\sin \frac{3}{4} \tau$ и $\sin \frac{\tau}{6}$ не равно нулю. Пусть, например, $\sin \frac{3}{4} \tau \neq 0$.
Тогда имеем тождество
$\frac {\sin \frac{3}{4} (2x + \tau)}{\cos \frac{1}{6} (2x + \tau)} = - \frac {\sin \frac{\tau}{6}}{\sin \frac{3}{4} \tau}$,
что невозможно, так как в правой части стоит постоянная величина. Легко убедиться, что это тождество ложно, выбрав, например, $x = 0$ и $x = 6 \pi$ и сравнив для этих $x$ левые части. Получим $\sin \frac{ 3 \tau}{4} = 0$, что противоречит предположению.
Ответ. $12 \pi$.
Найти основной период функции $y = \cos \frac{3x}{2} - \sin \frac{x}{3}$.
Решение:
Период функции $\cos \frac{3x}{2}$ равен $T_1 = 2 \pi : \frac{3}{2} = \frac{ 4 \pi}{3}$, а период функции $\sin \frac{ x}{3}$ равен $6 \pi$.
Наименьшее общее кратное этих периодов будет $12 \pi$. Очевидно, что $12 \pi$ - период данной функции. Докажем, что это - основной период.
Пусть существует период $\tau$ такой, что $0 < \tau < 12 \pi$. Тогда имеем тождество
$\cos \frac{3}{2} (x + \tau) - \sin \frac{x+ \tau}{3} - \cos \frac{3}{2} x + \sin \frac{x}{3} = 0$,
или
$\sin \frac{3}{4} \tau \sin \frac{3}{4} (2x + \tau) + \sin \frac{ \tau}{6} \cos \frac{ 1}{6} (2x + \tau) = 0$.
Так как $\tau < 12 \pi$, a $\frac{3}{4} \tau = \frac{3 \tau}{4 \pi} \pi$ и $\frac{ \tau}{6} = \frac{ \tau}{6 \pi} \pi$, то одно из чисел $\frac{ 3 \tau}{4 \pi}$ или $\frac{ \tau}{6 \pi}$ не является целым, т. е. по крайней мере одно из чисел $\sin \frac{3}{4} \tau$ и $\sin \frac{\tau}{6}$ не равно нулю. Пусть, например, $\sin \frac{3}{4} \tau \neq 0$.
Тогда имеем тождество
$\frac {\sin \frac{3}{4} (2x + \tau)}{\cos \frac{1}{6} (2x + \tau)} = - \frac {\sin \frac{\tau}{6}}{\sin \frac{3}{4} \tau}$,
что невозможно, так как в правой части стоит постоянная величина. Легко убедиться, что это тождество ложно, выбрав, например, $x = 0$ и $x = 6 \pi$ и сравнив для этих $x$ левые части. Получим $\sin \frac{ 3 \tau}{4} = 0$, что противоречит предположению.
Ответ. $12 \pi$.
