Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2621
2019-03-30 
Доказать, что функция $у = \cos x^2$ не является периодической.
Решение:
Первый способ. Пусть $T$ - период функции. Тогда
$\cos (x+T)^2 = \cos x^2$
при всех $x$. Если $x=0$, то получим, что $\cos T^2=1$, откуда $T^2 = 2n \pi$. Если $x = T\sqrt{2}$, то $\cos (\sqrt{2} +1)^2T^2 = \cos 2T^2$, откуда или $(\sqrt{2} +1)^2T^2 = 2 k \pi$, или $(\sqrt{2} +1)^2T^2 - 2T^2 = 2m \pi$, т.е. либо $(5 + 2 \sqrt{2})T^2 = 2k \pi$, либо $(1 + 2\sqrt{2} )T^2 = 2m \pi$. Подставляя в оба выражения $T^2 = 2n \pi$, получим соответственно
$5+2 \sqrt{2} = \frac{k}{n}$ или $1+2 \sqrt{2} = \frac{m}{n}$,
что невозможно, так как слева стоят иррациональные числа, а справа - рациональные.
Второй способ. найдем корни функции $\cos x^2$:
$x^2 = \frac{ \pi}{2} (2n+1), x = \pm \sqrt{ \pi} \sqrt { \frac{2n+1}{2}}, n = 0, 1, 2, \cdots$.
Рассмотрим положительные корни
$x_n = \sqrt{\pi} \sqrt { \frac{ 2n+1}{2}}$.
Предположим, что $T > 0$ - период функции. Тогда, если при $x = x_1$ функция равна нулю, то и при $x = x_1 + T$ она тоже равна нулю. Другими словами, $x_1 + T = x_m$. Аналогично $x_2 + T = x_k$. Вычитая одно равенство из другого, получим
$\sqrt{ \pi} \left (\sqrt{ \frac{5}{2}} - \sqrt{ \frac{3}{2}} \right ) = \sqrt{\pi} \left ( \sqrt { \frac{2k+1}{2} } - \sqrt { \frac{2m+1}{2}} \right )$,
т.е.
$\sqrt{5} - \sqrt{3} = \sqrt {2k + 1} - \sqrt {2m + 1}$.
Возведем в квадрат:
$\sqrt{15} + k + m - 3 = \sqrt {(2k+1)(2m+1)}$.
После вторичного возведения в квадрат получим
$(k+m-3)^2 + 15 + 2 (k + m - 3) \sqrt{15} = (2k+1)(2m+1)$.
Это равенство возможно лишь при $\sqrt{15} (k+m-3) = 0$, так как все остальные его элементы - целые. Однако числа $k$ и $m$ выбраны так, что $k \geq 3$ и $m \geq 2$, т.е. $k + m > 3$.
Доказать, что функция $у = \cos x^2$ не является периодической.
Решение:
Первый способ. Пусть $T$ - период функции. Тогда
$\cos (x+T)^2 = \cos x^2$
при всех $x$. Если $x=0$, то получим, что $\cos T^2=1$, откуда $T^2 = 2n \pi$. Если $x = T\sqrt{2}$, то $\cos (\sqrt{2} +1)^2T^2 = \cos 2T^2$, откуда или $(\sqrt{2} +1)^2T^2 = 2 k \pi$, или $(\sqrt{2} +1)^2T^2 - 2T^2 = 2m \pi$, т.е. либо $(5 + 2 \sqrt{2})T^2 = 2k \pi$, либо $(1 + 2\sqrt{2} )T^2 = 2m \pi$. Подставляя в оба выражения $T^2 = 2n \pi$, получим соответственно
$5+2 \sqrt{2} = \frac{k}{n}$ или $1+2 \sqrt{2} = \frac{m}{n}$,
что невозможно, так как слева стоят иррациональные числа, а справа - рациональные.
Второй способ. найдем корни функции $\cos x^2$:
$x^2 = \frac{ \pi}{2} (2n+1), x = \pm \sqrt{ \pi} \sqrt { \frac{2n+1}{2}}, n = 0, 1, 2, \cdots$.
Рассмотрим положительные корни
$x_n = \sqrt{\pi} \sqrt { \frac{ 2n+1}{2}}$.
Предположим, что $T > 0$ - период функции. Тогда, если при $x = x_1$ функция равна нулю, то и при $x = x_1 + T$ она тоже равна нулю. Другими словами, $x_1 + T = x_m$. Аналогично $x_2 + T = x_k$. Вычитая одно равенство из другого, получим
$\sqrt{ \pi} \left (\sqrt{ \frac{5}{2}} - \sqrt{ \frac{3}{2}} \right ) = \sqrt{\pi} \left ( \sqrt { \frac{2k+1}{2} } - \sqrt { \frac{2m+1}{2}} \right )$,
т.е.
$\sqrt{5} - \sqrt{3} = \sqrt {2k + 1} - \sqrt {2m + 1}$.
Возведем в квадрат:
$\sqrt{15} + k + m - 3 = \sqrt {(2k+1)(2m+1)}$.
После вторичного возведения в квадрат получим
$(k+m-3)^2 + 15 + 2 (k + m - 3) \sqrt{15} = (2k+1)(2m+1)$.
Это равенство возможно лишь при $\sqrt{15} (k+m-3) = 0$, так как все остальные его элементы - целые. Однако числа $k$ и $m$ выбраны так, что $k \geq 3$ и $m \geq 2$, т.е. $k + m > 3$.
