ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-30   
Решить уравнение: $arctg (x - 1) + arctg x + arctg (x+1) = arctg 3x$.


Решение:


Bведем обозначения

$arctg (x-1) = \alpha, tg \alpha = x - 1, - \frac{ \pi}{2} < \alpha < \frac{ \pi}{2}$;
$arctg x = \beta, tg \beta = x, - \frac{ \pi}{2} < \beta < \frac{ \pi}{2}$;
$arctg (x+1) = \gamma, tg \gamma = x + 1, - \frac{ \pi}{2} < \gamma < \frac{ \pi}{2}$;
$arctg (3x) = \delta, tg \delta = 3x, - \frac{ \pi}{2} < \sigma < \frac{\pi}{2}$.

Наше уравнение принимает вид $\alpha + \beta + \gamma = \delta$ или $\alpha + \beta = \delta - \gamma$. Обе части уравнения лежат в интервале $(-\pi, \pi$. Если мы возьмем котангенсы от обеих частей уравнения, то можем потерять лишь корень, которому соответствует значение углов, равное 0, так как это - единственное значение из интервала $(-\pi, \pi)$, в котором котангенс не существует. Проверим, будет ли выполняться равенство $\alpha + \beta = \delta - \gamma = 0$. Если $\alpha + \beta = 0$, то $arctg (1 - x) = arctg x$, откуда $1-x = x$ и $x = \frac{1}{2}$. При $x = \frac{1}{2}$ получим, что $\delta - \gamma = arctg \frac{3}{2} - arctg \frac{3}{2} = 0$. Таким образом, $x_1 = \frac{1}{2}$ - корень уравнения.

Если $\alpha + \beta \neq 0$, то от обеих частей уравнения можно взять котангенсы:

$ctg (\alpha + \beta) = ctg (\delta - \gamma)$,

что приведет к следствию исходного уравнения. Раскрыв скобки и подставив выражения тригонометрических функций $\alpha, \beta, \gamma$ и $\delta$ через $x$, получим уравнение

$\frac {1- (x-1)x}{x-1 + x} = \frac {1 + (x+1) 3x}{3x - x - 1}$,

которое равносильно системе

$\begin{cases} 1 - x^2 + x = 1 + 3x^2 + 3x \\ x \neq \frac{1}{2} \end{cases}$.

Получаем два значения неизвестного: $x_2 = 0, x_3 = - \frac{1}{2}$.
Проверкой убеждаемся, что оба значения удовлетворяют данному уравнению.
Ответ. $0, \pm \frac{1}{2}$.