ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-30   
Решить уравнение: $arcsin { \frac{2}{3} \sqrt {x} } - arcsin {\sqrt {1-x}} = arcsin \frac{1}{3}$.


Решение:


Пусть

$arcsin \frac{2}{3 \sqrt {x}} = \alpha, \sin \alpha = \frac{2}{3 \sqrt{x}}, 0 < \alpha \leq \frac{\pi}{2}$,
$arcsin {\sqrt {1-x}} = \beta, \sin \beta = \sqrt {1-x}, 0 \leq \beta \leq \frac{ \pi}{2}$,
$arcsin \frac{1}{3} = \gamma, \sin \gamma = \frac{1}{3}, 0 < \gamma < \frac{ \pi}{2}$.

Так как $- \frac{ \pi}{2} < \alpha - \beta \leq \frac{ \pi}{2}$, то обе части уравнения лежат в интервале монотонности синуса. Поэтому уравнение равносильно такому:

$\sin (\alpha - \beta) = \sin \gamma$

или

$\frac{2}{3 \sqrt{x}} \sqrt {1 - (\sqrt {1-x})^2} - \sqrt {1 - (\frac {2}{3 \sqrt{x}})^2} \sqrt {1-x} = \frac{1}{3}$.

После упрощений получим уравнение

$\sqrt{x} = \sqrt {13x - 4 - 9x^2}$,

имеющее единственный корень $x = \frac{2}{3}$. Делаем проверку и убеждаемся, что $x = \frac{2}{3}$ является корнем предыдущего уравнения и, следовательно, корнем исходного уравнения.
Ответ. $\frac{2}{3}$.