ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-30   
Решить уравнение: $arctg (2 + \cos x) - arctg(2cos^2 \frac{x}{2} ) = \frac{ \pi}{4}$.


Решение:


Обозначим

$arctg (2 + \cos x) = \alpha, arctg \left ( 2 \cos^2 \frac{x}{2} \right ) = \beta$.

Так как

$2 + \cos x > 0$ и $2 + \cos^2 \frac{x}{2} \geq 0$,

то $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ и $0 \leq \beta < \frac{ \pi}{2}$.

Уравнение принимает вид $\alpha - \beta = \frac{ \pi}{4}$, причем

$- \frac{ \pi}{2} < \alpha - \beta < \frac{ \pi}{2}$ и $- \frac{ \pi}{2} < \frac{ \pi}{4} < \frac{ \pi}{2}$.

Так как $\left (- \frac{\pi}{2}, \frac{ \pi}{2} \right )$ - интервал монотонности тангенса, то уравнение $\alpha - \beta = \frac{ \pi}{4}$ равносильно уравнению $tg (\alpha - \beta) = tg \frac{ \pi}{4}$.

Переходя к уравнению

$\frac {tg \alpha - tg \beta}{1 + tg \alpha tg \beta} = 1$,

мы можем потерять те корни, для которых $tg \alpha$ или $tg \beta$ не существует. В нашем случае этого не произойдет, поскольку

$tg \alpha = 2 + \cos x, tg \beta = 2 \cos^ \frac{x}{2}$,

а правые части существуют всегда. Получаем уравнение

$\frac {2 + \cos x - 2 \cos^2 \frac{x}{2}}{1 + (2+ \cos x) 2 \cos^2 \frac{x}{2}} = 1$,

которое после преобразования принимает вид

$2 \cos^4 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2} = 0$.

Так как уравнение $2 \cos^2 \frac{x}{2} + 1 = 0$ не имеет решений, то остается $\cos \frac{x}{2} = 0$.
Ответ. $\pi (2n + 1)$.