Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2611
2019-03-30 
Решить уравнение: $arcsin 2x + arcsin x = \frac{ \pi}{3}$.
Решение:
Из условия следует, что $x > 0$. B таком случае
$arcsin 2x = \alpha, \sin \alpha = 2x, 0 < \alpha \leq \frac{ \pi}{2}$;
$arcsin x = \beta, \sin \beta = x, 0 < \beta \leq \frac{ \pi}{2}$.
Уравнение примет вид $\alpha + \beta = \frac{ \pi}{3}$, и обе его части окажутся в интервале $(0, \pi]$, который является интервалом монотонности косинуса. Следовательно, уравнение
$\cos (\alpha + \beta) = \cos \frac{ \pi}{3}$
равносильно данному. Раскрывая,скобки и заменяя тригонометрические функции $\alpha$ и $\beta$ их выражениями через $x$, придем к уравнению:
$\sqrt {1-4x^2} \sqrt{1-x^2} = 2x^2 + \frac{1}{2}$.
После возведения в квадрат получим
$4 (1-4x^2)(1-x^2) = (4x^2 +1)^2$.
При переходе к последнему уравнению могут появиться посторонние корни из-за того, что обе левые скобки могут стать отрицательными. Чтобы избежать этого, добавим условие $|2x| \leq 1$.
Уравнение $28x^2 - 3 = 0$, к которому сводится последнее, имеет корни $x_{1,2} = \pm \frac{1}{2} \sqrt { \frac{3}{7}}$. Из них следует выбрать первый, так как он положителен и так как $2 \cdot \frac{1}{2} \sqrt { \frac{3}{7}} < 1$.
Ответ. $\frac{1}{2} \sqrt { \frac{3}{7}}$.
Решить уравнение: $arcsin 2x + arcsin x = \frac{ \pi}{3}$.
Решение:
Из условия следует, что $x > 0$. B таком случае
$arcsin 2x = \alpha, \sin \alpha = 2x, 0 < \alpha \leq \frac{ \pi}{2}$;
$arcsin x = \beta, \sin \beta = x, 0 < \beta \leq \frac{ \pi}{2}$.
Уравнение примет вид $\alpha + \beta = \frac{ \pi}{3}$, и обе его части окажутся в интервале $(0, \pi]$, который является интервалом монотонности косинуса. Следовательно, уравнение
$\cos (\alpha + \beta) = \cos \frac{ \pi}{3}$
равносильно данному. Раскрывая,скобки и заменяя тригонометрические функции $\alpha$ и $\beta$ их выражениями через $x$, придем к уравнению:
$\sqrt {1-4x^2} \sqrt{1-x^2} = 2x^2 + \frac{1}{2}$.
После возведения в квадрат получим
$4 (1-4x^2)(1-x^2) = (4x^2 +1)^2$.
При переходе к последнему уравнению могут появиться посторонние корни из-за того, что обе левые скобки могут стать отрицательными. Чтобы избежать этого, добавим условие $|2x| \leq 1$.
Уравнение $28x^2 - 3 = 0$, к которому сводится последнее, имеет корни $x_{1,2} = \pm \frac{1}{2} \sqrt { \frac{3}{7}}$. Из них следует выбрать первый, так как он положителен и так как $2 \cdot \frac{1}{2} \sqrt { \frac{3}{7}} < 1$.
Ответ. $\frac{1}{2} \sqrt { \frac{3}{7}}$.
