Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2610
2019-03-30 
Решить уравнение: $arcsin \frac{3x}{5} + arcsin \frac{4x}{5} = arcsin x$.
Решение:
Если $х$ - корень данного уравнения, to и $- x$ будет его корнем. Поэтому достаточно найти лишь неотрицательные корни. Если $x \geq 0$, то
$arcsin \frac{3x}{5} = \alpha, \sin \alpha = \frac{3x}{5}, 0 \leq \alpha \leq \frac{ \pi}{2}$;
$arcsin \frac{4x}{5} = \beta, \sin \beta = \frac{4x}{5}, 0 \leq \beta \leq \frac{\pi}{2}$;
$arcsin x = \gamma, \sin \gamma = x, 0 \leq \gamma \leq \frac{\pi}{2}$.
Если перенести $\alpha$ в правую часть уравнения, то получим, что $\beta = \gamma - \alpha$ причем $0 \leq \beta \leq \frac{ \pi}{2}$ и $- \frac{ \pi}{2} \leq \gamma - \alpha \leq \frac{ \pi}{2}$. Поскольку обе части уравнения находятся в интервале монотонности синуса, то данное уравнение равносильно такому:
$\sin \beta = \sin (\gamma - \alpha)$.
Последнее уравнение можно записать в виде
$\frac{4x}{5} = x \sqrt{1 - \frac{ 9x^2}{25}} - \frac{3x}{5} \sqrt {1 - x^2}$,
добавив к нему условие $\left | \frac{4x}{5} \right | \leq 1$, являющееся в данном случае следствием уравнения. Получаем $x_1 = 0$.
Остается $4+3 \sqrt {1 - x^2} = \sqrt {25 - 9x^2}$, а после возведения в квадрат $\sqrt {1-x^2} = 0, x = 1$.
Делаем проверку иррационального уравнения.
Ответ. $\pm 1, 0$.
Решить уравнение: $arcsin \frac{3x}{5} + arcsin \frac{4x}{5} = arcsin x$.
Решение:
Если $х$ - корень данного уравнения, to и $- x$ будет его корнем. Поэтому достаточно найти лишь неотрицательные корни. Если $x \geq 0$, то
$arcsin \frac{3x}{5} = \alpha, \sin \alpha = \frac{3x}{5}, 0 \leq \alpha \leq \frac{ \pi}{2}$;
$arcsin \frac{4x}{5} = \beta, \sin \beta = \frac{4x}{5}, 0 \leq \beta \leq \frac{\pi}{2}$;
$arcsin x = \gamma, \sin \gamma = x, 0 \leq \gamma \leq \frac{\pi}{2}$.
Если перенести $\alpha$ в правую часть уравнения, то получим, что $\beta = \gamma - \alpha$ причем $0 \leq \beta \leq \frac{ \pi}{2}$ и $- \frac{ \pi}{2} \leq \gamma - \alpha \leq \frac{ \pi}{2}$. Поскольку обе части уравнения находятся в интервале монотонности синуса, то данное уравнение равносильно такому:
$\sin \beta = \sin (\gamma - \alpha)$.
Последнее уравнение можно записать в виде
$\frac{4x}{5} = x \sqrt{1 - \frac{ 9x^2}{25}} - \frac{3x}{5} \sqrt {1 - x^2}$,
добавив к нему условие $\left | \frac{4x}{5} \right | \leq 1$, являющееся в данном случае следствием уравнения. Получаем $x_1 = 0$.
Остается $4+3 \sqrt {1 - x^2} = \sqrt {25 - 9x^2}$, а после возведения в квадрат $\sqrt {1-x^2} = 0, x = 1$.
Делаем проверку иррационального уравнения.
Ответ. $\pm 1, 0$.
