Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2609
2019-03-30 
Решить уравнение: $tg (3 arcsin x) = 1$.
Решение:
Из уравнения следует, что
$arcsin x = \frac{ \pi}{12} + \frac{ n \pi}{3}$.
Поскольку
$- \frac{ \pi}{2} \leq arcsin x \leq \frac{ \pi}{2}$,
то возможны лишь три значения $n = 0, -1, 1$.
Если $n = 0$, то $arcsin x = \frac{ \pi}{12}$,
$x_1 = \sin \frac{ \pi}{12} = \sqrt {\frac {1 - \cos \frac{ \pi}{6}}{2}} = \frac{1}{2} \sqrt {2 - \sqrt{3}}$.
Если $n = -1$, то $arcsin x = - \frac{ \pi}{4}$,
$x_2 = \sin \left ( - \frac{\pi}{4} \right ) = - \frac{1}{ \sqrt{2}}$.
Если $n = 1$, то $arcsin x = \frac{ 5 \pi}{12}$,
$x_3 = \sin \frac{5 \pi}{12} = \cos \frac{ \pi}{12} = \frac{1}{2} \sqrt {2 + \sqrt {3}}$.
Ответ. $\frac{1}{2} \sqrt {2 \pm \sqrt{3}}, - \frac{1}{\sqrt{2}}$.
Решить уравнение: $tg (3 arcsin x) = 1$.
Решение:
Из уравнения следует, что
$arcsin x = \frac{ \pi}{12} + \frac{ n \pi}{3}$.
Поскольку
$- \frac{ \pi}{2} \leq arcsin x \leq \frac{ \pi}{2}$,
то возможны лишь три значения $n = 0, -1, 1$.
Если $n = 0$, то $arcsin x = \frac{ \pi}{12}$,
$x_1 = \sin \frac{ \pi}{12} = \sqrt {\frac {1 - \cos \frac{ \pi}{6}}{2}} = \frac{1}{2} \sqrt {2 - \sqrt{3}}$.
Если $n = -1$, то $arcsin x = - \frac{ \pi}{4}$,
$x_2 = \sin \left ( - \frac{\pi}{4} \right ) = - \frac{1}{ \sqrt{2}}$.
Если $n = 1$, то $arcsin x = \frac{ 5 \pi}{12}$,
$x_3 = \sin \frac{5 \pi}{12} = \cos \frac{ \pi}{12} = \frac{1}{2} \sqrt {2 + \sqrt {3}}$.
Ответ. $\frac{1}{2} \sqrt {2 \pm \sqrt{3}}, - \frac{1}{\sqrt{2}}$.
