ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-30   
Доказать, что выражение $arcsin \frac {2x}{1+x^2} + 2arctg x$ не зависит от $x$, если $х < - 1$, и упростить его в этом случае.


Решение:


Так как $x < -1$, то $-1 < \frac {2x}{1 + x^2} < 0$. Введем обозначения

$arcsin \frac {2x}{1 + x^2} = \alpha, \sin \alpha = \frac{2x}{1+x^2}, - \frac{ \pi}{2} < \alpha < 0$;
$arctg x = \beta, tg \beta = x, - \frac{ \pi}{2} < \beta < - \frac{ \pi}{4}$,
т.е. $- \pi < 2 \beta < - \frac{ \pi}{2}$.

Следовательно,

$- \frac{ 3 \pi}{2} < \alpha + 2 \beta < - \frac{ \pi}{2}$,

т.е. данное выражение лежит в интервале монотонности синуса. Найдем

$\sin (\alpha + 2 \beta) = \sin \alpha \cos 2\beta + \sin 2 \beta \cos \alpha$;
$\cos 2 \beta = \frac {1-tg^2 \beta}{1+ tg^2 \beta} = \frac {1-x^2}{1+x^2}, \sin 2\beta = \frac {2x}{1 + x^2}$,
$\cos \alpha = \sqrt {1 - \frac {4x^2}{(1+x^2)^2}} = \frac {|1 - x^2|}{1 + x^2} = \frac {x^2 - 1}{1 + x^2}$, так как $x < -1$.

После подстановки получим

$\sin (\alpha + 2 \beta) = \frac {2x}{1+x^2} \cdot \frac {1-x^2}{1+x^2} + \frac {2x}{1+x^2} \cdot \frac {x^2-1}{1+x^2} = 0$,

т.е. $\alpha + 2 \beta = - \pi$.
Ответ. $- \pi$.