ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-30   
Доказать, что если $0 \leq x \leq 1$, то $arcsin x - arcsin {\frac {x- \sqrt {1-x^2}}{\sqrt{2}}} = \frac{ \pi}{4}$.


Решение:


При $0 \leq x \leq 1$ оба арксинуса существуют. Для первого это очевидно, а для второго имеем

$0 \leq x^2 \leq 1, -1 \leq -x^2 \leq 0, 0 \leq \sqrt {1-x^2} \leq 1$.

Следовательно,

$-1 \leq x - \sqrt {1 - x^2} \leq 1$

и, тем более,

$-1 \leq \frac {x - \sqrt {1-x^2}}{\sqrt 2} \leq 1$.

Bведем обозначение

$arcsin x = \alpha, \sin \alpha - x, 0 \leq \alpha \leq \frac{\pi}{2}$;
$arcsin \frac {x - \sqrt {1-x^2}}{\sqrt{2}} = \beta, \sin \beta = \frac {x - \sqrt {1 - x^2}}{\sqrt{2}}, - \frac{ \pi}{2} \leq \beta \leq \frac{ \pi}{2}$.

Нужно доказать, что $\alpha - \beta = \frac{ \pi}{4}$ или $\alpha - \frac{ \pi}{4} = \beta$. Так как $- \frac{ \pi}{4} \leq \alpha - \frac{\pi}{4} \leq \frac{ \pi}{4}$, то $\alpha - \frac{ \pi}{4}$ и $\beta$ лежат в интервале монотонности синуса. Поэтому, если мы докажем, что синусы этих аргументов равны, то тем самым будет доказано и равенство самих аргументов. Поскольку

$\sin \left ( \alpha - \frac{\pi}{4} \right ) - \sin \alpha \cos \frac{\pi}{4} - \cos \alpha \sin \frac{ \pi}{4} = \frac{1}{ \sqrt{2}} (x - \sqrt {1 - x^2})$

(перед корнем взят знак плюс, так как $\cos \alpha \geq 0$ при $0 \leq \alpha \leq \frac{\pi}{2}$).

Итак, доказано, что $\sin \left (\alpha - \frac{\pi}{4} \right ) = \sin \beta$, откуда следует справедливость нашего равенства.