Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2606
2019-03-30 
Найти $arccos (\sin \pi (x^2 + x - 3))$, если $0 \leq x \leq \frac {\sqrt{3} - 1}{2}$.
Решение:
Оценим $\phi = \pi (x^2 + x - 3)$, если $0 \leq x \leq \frac {\sqrt{3} - 1}{2}$.
Имеем
$0 \leq x^2 \leq \frac {2 - \sqrt {3}}{2}, 0 \leq x^2 + x \leq \frac{1}{2}$,
$- 3\pi \leq \phi \leq - \frac{ 5 \pi}{2}$
или
$\pi \leq 4\pi + \phi \leq \frac{ 3 \pi}{2}$.
Следовательно,
$arccos \sin \phi = \arccos \sin (4 \pi + \phi) = arccos \left [- \cos \left ( \frac{3 \pi}{2} - 4 \pi - \phi \right ) \right ] = \pi - arccos \left ( \frac{3\pi}{2} - 4 \pi - \phi \right ) $,
где
$0 \leq \frac{ 3 \pi}{2} - 4 \pi - \phi \leq \frac{ \pi}{2}$.
Окончательно получаем
$arccos \sin \phi = \pi - \frac{ 3 \pi}{2} + 4 \pi + \phi + \phi = \frac{ 7 \pi}{2} + \phi$.
Ответ. $\frac{7 \pi}{2} + \pi (x^2 + x - 3)$.
Найти $arccos (\sin \pi (x^2 + x - 3))$, если $0 \leq x \leq \frac {\sqrt{3} - 1}{2}$.
Решение:
Оценим $\phi = \pi (x^2 + x - 3)$, если $0 \leq x \leq \frac {\sqrt{3} - 1}{2}$.
Имеем
$0 \leq x^2 \leq \frac {2 - \sqrt {3}}{2}, 0 \leq x^2 + x \leq \frac{1}{2}$,
$- 3\pi \leq \phi \leq - \frac{ 5 \pi}{2}$
или
$\pi \leq 4\pi + \phi \leq \frac{ 3 \pi}{2}$.
Следовательно,
$arccos \sin \phi = \arccos \sin (4 \pi + \phi) = arccos \left [- \cos \left ( \frac{3 \pi}{2} - 4 \pi - \phi \right ) \right ] = \pi - arccos \left ( \frac{3\pi}{2} - 4 \pi - \phi \right ) $,
где
$0 \leq \frac{ 3 \pi}{2} - 4 \pi - \phi \leq \frac{ \pi}{2}$.
Окончательно получаем
$arccos \sin \phi = \pi - \frac{ 3 \pi}{2} + 4 \pi + \phi + \phi = \frac{ 7 \pi}{2} + \phi$.
Ответ. $\frac{7 \pi}{2} + \pi (x^2 + x - 3)$.
