Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2605
2019-03-30 
Вычислить сумму $arcsin \sqrt{1-x} + arcsin \sqrt{x}$.
Решение:
Сумма существует при $0 \leq x \leq 1$. Bведем обозначения и используем определение арксинуса:
$arcsin \sqrt{1-x} = \alpha, \sin \alpha = \sqrt {1-x}, 0 \leq \alpha \leq \frac{\pi}{2}$,
$arcsin {\sqrt x} = \beta, \sin \beta = \sqrt{x}, 0 \leq \beta \leq \frac{ \pi}{2}$.
Так как сумма $\alpha + \beta$ лежит в интервале $[0, \pi]$, который является интервалом монотонности косинуса, то имеется взаимно однозначное соответствие между $\alpha + \beta$ и $\cos (\alpha+\beta)$ при условии, что $0 \leq x \leq 1$. Так как
$\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = \sqrt{x} \sqrt{1-x} - \sqrt {1-x} \sqrt{x} = 0$,
то
$\alpha + \beta = \frac{ \pi}{2}$.
Ответ. $\frac{ \pi}{2}$ при $0 \leq x \leq 1$.
Вычислить сумму $arcsin \sqrt{1-x} + arcsin \sqrt{x}$.
Решение:
Сумма существует при $0 \leq x \leq 1$. Bведем обозначения и используем определение арксинуса:
$arcsin \sqrt{1-x} = \alpha, \sin \alpha = \sqrt {1-x}, 0 \leq \alpha \leq \frac{\pi}{2}$,
$arcsin {\sqrt x} = \beta, \sin \beta = \sqrt{x}, 0 \leq \beta \leq \frac{ \pi}{2}$.
Так как сумма $\alpha + \beta$ лежит в интервале $[0, \pi]$, который является интервалом монотонности косинуса, то имеется взаимно однозначное соответствие между $\alpha + \beta$ и $\cos (\alpha+\beta)$ при условии, что $0 \leq x \leq 1$. Так как
$\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = \sqrt{x} \sqrt{1-x} - \sqrt {1-x} \sqrt{x} = 0$,
то
$\alpha + \beta = \frac{ \pi}{2}$.
Ответ. $\frac{ \pi}{2}$ при $0 \leq x \leq 1$.
