ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-30   
Представить выражение $arctg (-2) + arctg \frac{1}{3} + arctg - \frac{1}{3}$ в виде значения лишь одной обратной тригонометрической функции.


Решение:


Рассмотрим вначале первое и третье слагаемые:

$arctg (-2) = \alpha, tg \alpha = - 2, - \frac{ \pi}{2} < \alpha < 0$;
$arctg \left ( - \frac{1}{3} \right ) = \beta, tg \beta = - \frac{1}{3}, - \frac{ \pi}{2} < \beta < 0$.

Таким образом, $- \pi < \alpha + \beta < 0$, что не является областью главных значений какой-нибудь обратной тригонометрической функции. Поэтому прибавим ко всем частям неравенства $\pi$: $0 < \pi + \alpha + \beta < \pi$. Теперь $\pi + \alpha + \beta$ попадает в область значений арккотангенса, что обеспечивает взаимно однозначный переход к обратным функциям. Найдем

$ctg (\pi + \alpha + \beta) = ctg (\alpha + \beta) = \frac {1-tg \alpha tg \beta}{tg \alpha + tg \beta} = \frac {1 - \frac{2}{3}}{-2 - \frac{1}{3}} = - \frac{1}{7}$.

Следовательно,

$\pi + \alpha + \beta = arctg \left ( - \frac{1}{7} \right )$, т.е. $\alpha + \beta = -arctg \frac{1}{7}$.

Наше выражение равно

$arcsin \frac{1}{3} - arcctg \frac{1}{7}$.

Пусть

$arcsin \frac{1}{3} = \gamma, \sin \gamma = \frac{1}{3}, 0 < \gamma < \frac{ \pi}{2}$;
$arctg \frac{1}{7} = \sigma, ctg \sigma = \frac{1}{7}, 0 < \sigma < \frac{\pi}{2}$.

Так как $- \frac{ \pi}{2} < \gamma - \sigma < \frac{ \pi}{2}$, что является интервалом значений арксинуса, то вычислим синус от $\gamma - \sigma$:

$\sin (\gamma - \sigma) = \sin \gamma \cos \sigma - \cos \gamma \sin \sigma$.

Так как

$\cos \gamma = \frac{2 \sqrt 2}{3}, \cos \sigma = \frac{1}{5 \sqrt{2}}, \sin \sigma = \frac{7}{5 \sqrt{2}}$,

то

$\sin (\gamma - \sigma) = \frac {1-14 \sqrt{2}}{15 \sqrt{2}} = \frac {\sqrt{2} - 28}{30}$.
Ответ. $arcsin {\frac {\sqrt{2} - 28}{30}}$.