Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2603
2019-03-30 
Представить выражение $arctg \frac{7}{9} + arctg 8 + \arcsin \frac{ \sqrt{2}}{4}$ в виде значения функции $arcsin x$.
Решение:
Пусть
$arctg \frac{7}{9} = \alpha, tg \alpha = \frac{7}{9}, 0 < \alpha < \frac{ \pi}{4}$,
$arctg 8 = \beta, ctg \beta = 8, 0 < \beta < \frac{ \pi}{4}$.
Так как $9 < \alpha + \beta < \frac{ \pi}{2}$ и
$tg (\alpha + \beta) = \frac { \frac{7}{9} + \frac{1}{8}}{1 - \frac{7}{9} \cdot \frac{1}{8}} = 1$, то $\alpha + \beta = \frac{ \pi}{4}$.
Наше выражение принимает теперь вид
$\frac{ \pi}{4} + arcsin \frac{\sqrt{2}}{4}$.
Поскольку $\arcsin \frac{\sqrt{2}}{4} < \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{ \pi}{4}$, то
$0 < \frac{ \pi}{4} + \gamma < \frac{ \pi}{2}$,
где $\gamma = \arcsin \frac{ \sqrt{2}}{4}$ и $\sin \gamma = \frac{ \sqrt{2}}{4}$. Найдем
$\sin \left ( \frac{\pi}{4} + \gamma \right ) = \frac{1}{ \sqrt{2}} (\cos \gamma + \sin \gamma) = \frac {\sqrt{7} + 1}{4}$.
Остается воспользоваться определением арксинуса.
Ответ. $\arcsin \frac{\sqrt{7} + 1}{4}$.
Представить выражение $arctg \frac{7}{9} + arctg 8 + \arcsin \frac{ \sqrt{2}}{4}$ в виде значения функции $arcsin x$.
Решение:
Пусть
$arctg \frac{7}{9} = \alpha, tg \alpha = \frac{7}{9}, 0 < \alpha < \frac{ \pi}{4}$,
$arctg 8 = \beta, ctg \beta = 8, 0 < \beta < \frac{ \pi}{4}$.
Так как $9 < \alpha + \beta < \frac{ \pi}{2}$ и
$tg (\alpha + \beta) = \frac { \frac{7}{9} + \frac{1}{8}}{1 - \frac{7}{9} \cdot \frac{1}{8}} = 1$, то $\alpha + \beta = \frac{ \pi}{4}$.
Наше выражение принимает теперь вид
$\frac{ \pi}{4} + arcsin \frac{\sqrt{2}}{4}$.
Поскольку $\arcsin \frac{\sqrt{2}}{4} < \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{ \pi}{4}$, то
$0 < \frac{ \pi}{4} + \gamma < \frac{ \pi}{2}$,
где $\gamma = \arcsin \frac{ \sqrt{2}}{4}$ и $\sin \gamma = \frac{ \sqrt{2}}{4}$. Найдем
$\sin \left ( \frac{\pi}{4} + \gamma \right ) = \frac{1}{ \sqrt{2}} (\cos \gamma + \sin \gamma) = \frac {\sqrt{7} + 1}{4}$.
Остается воспользоваться определением арксинуса.
Ответ. $\arcsin \frac{\sqrt{7} + 1}{4}$.
