Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2602
2019-03-30 
Доказать, что $2 arctg \frac{1}{4} + arctg \frac{7}{23} = \frac{ \pi}{4}$.
Решение:
Bведем обозначения:
$arctg \frac{1}{4} = \alpha, tg \alpha = \frac{1}{4}, 0 < \alpha < \frac{ \pi}{4}; 0 < 2 \alpha < \frac{ \pi}{2}$.
$arctg \frac{7}{23} = \beta, tg \beta = \frac{7}{23}, 0 < \beta < \frac{\pi}{4}; 0 < \frac{ \pi}{4} - \beta < \frac{ \pi}{4}$
B этих обозначениях равенство примет вид
$2 \alpha = \frac{ \pi}{4} - \beta$,
причем правая и левая части лежат в интервале $\left (0, \frac{ \pi}{2} \right )$.
Возьмем тангенсы от обеих частей:
$tg 2 \alpha = \frac {2 tg \alpha}{1 - tg^2 \alpha} = \frac{8}{15}, tg \left ( \frac{\pi}{4} - \beta \right ) = \frac {1 - tg \beta}{1+ tg \beta} = \frac{8}{15}$.
Так как тангенс является монотонной функцией в интервале $\left ( 0, \frac{ \pi}{2} \right )$, то равенство доказано.
Доказать, что $2 arctg \frac{1}{4} + arctg \frac{7}{23} = \frac{ \pi}{4}$.
Решение:
Bведем обозначения:
$arctg \frac{1}{4} = \alpha, tg \alpha = \frac{1}{4}, 0 < \alpha < \frac{ \pi}{4}; 0 < 2 \alpha < \frac{ \pi}{2}$.
$arctg \frac{7}{23} = \beta, tg \beta = \frac{7}{23}, 0 < \beta < \frac{\pi}{4}; 0 < \frac{ \pi}{4} - \beta < \frac{ \pi}{4}$
B этих обозначениях равенство примет вид
$2 \alpha = \frac{ \pi}{4} - \beta$,
причем правая и левая части лежат в интервале $\left (0, \frac{ \pi}{2} \right )$.
Возьмем тангенсы от обеих частей:
$tg 2 \alpha = \frac {2 tg \alpha}{1 - tg^2 \alpha} = \frac{8}{15}, tg \left ( \frac{\pi}{4} - \beta \right ) = \frac {1 - tg \beta}{1+ tg \beta} = \frac{8}{15}$.
Так как тангенс является монотонной функцией в интервале $\left ( 0, \frac{ \pi}{2} \right )$, то равенство доказано.
