Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2601
2019-03-30 
Hа плоскости проведены $m$ параллельных друг другу прямых и $n$ прямых, пересекающих их и друг друга. Никакие три прямые не проходят через одну точку. На сколько областей (частей) эти прямые разбивают плоскость?
Решение:
Пусть на плоскости проведены $m$ параллельных прямых. Они разобьют ее на $m+1$ областей. Если провести еще одну непараллельную прямую, то областей станет $2(m+1)$. Предположим, что $k$ непараллельных прямых образуют, пересекаясь с $m$ параллельными прямыми, $M_k$ областей. Если добавить еще одну прямую, пересекающую все имеющиеся, но не проходящую ни через одну из старых точек пересечения, то на этой прямой будет $m+k$ точек пересечения с остальными прямыми, в результате чего образуется $m+k+1$ новых областей.
Таким образом,
$M_{k+1} = M_k + m + k + 1$.
Так как $M_0 = m + 1$, то $M_1 = m + k + 1$,
$M_2 = (m+1) + (m+1) + (m+2)$,
$M_3 = (m+1) + (m+1) + (m+2) + (m+3), \cdots$,
$M_n = (m+1) + (m+1) + (m+2) + \cdots + (m+n) = m + 1 + mn + \frac {(1+n)n}{2} = \frac {(n+1)(2m+n)}{2} + 1$.
Остается доказать эту формулу методом математической индукции, что сводится к элементарным выкладкам, которые мы оставляем читателю.
Ответ. $\frac {(n+1)(2m+n)}{2} + 1$.
Hа плоскости проведены $m$ параллельных друг другу прямых и $n$ прямых, пересекающих их и друг друга. Никакие три прямые не проходят через одну точку. На сколько областей (частей) эти прямые разбивают плоскость?
Решение:
Пусть на плоскости проведены $m$ параллельных прямых. Они разобьют ее на $m+1$ областей. Если провести еще одну непараллельную прямую, то областей станет $2(m+1)$. Предположим, что $k$ непараллельных прямых образуют, пересекаясь с $m$ параллельными прямыми, $M_k$ областей. Если добавить еще одну прямую, пересекающую все имеющиеся, но не проходящую ни через одну из старых точек пересечения, то на этой прямой будет $m+k$ точек пересечения с остальными прямыми, в результате чего образуется $m+k+1$ новых областей.
Таким образом,
$M_{k+1} = M_k + m + k + 1$.
Так как $M_0 = m + 1$, то $M_1 = m + k + 1$,
$M_2 = (m+1) + (m+1) + (m+2)$,
$M_3 = (m+1) + (m+1) + (m+2) + (m+3), \cdots$,
$M_n = (m+1) + (m+1) + (m+2) + \cdots + (m+n) = m + 1 + mn + \frac {(1+n)n}{2} = \frac {(n+1)(2m+n)}{2} + 1$.
Остается доказать эту формулу методом математической индукции, что сводится к элементарным выкладкам, которые мы оставляем читателю.
Ответ. $\frac {(n+1)(2m+n)}{2} + 1$.
