2014-06-07
Доказать, что существует бесконечно много значений $n \in \mathbf{N}$, для которых любое число вида $m^{4} + n (m \in \mathbf{N})$ является составным.
Решение:
Пусть $n = 4k^{4}$, где $k = 2, 3, \cdots $ Тогда для любого значения $m \in \mathbf{N}$ число
$m^{2} + n = m^{4} + 4 k^{4}= (m^{4}+4m^{2}k^{2} + 4k^{4}) – 4m^{2}k^{2}=$
$=(m^{2}+2k^{2})^{2}-(2mk)^{2}=(m^{2}+2mk+2k^{2})(m^{2}-2mk+2k^{2})=$
$=((m+k)^{2}+k^{2})((m-k)^{2}+k^{2})$
является составным, поскольку каждый из сомножителей $(m \pm k)^{2} + k^{2}$ больше единицы (ибо $k > 1$).