Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2599
2019-03-30 
Определить число отличных от нуля коэффициентов в разложении
$(1+x^2+x^5)^20 = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_{100} x^{100}$.
Решение:
Преобразуем выражение, стоящее в левой части, следующим образом:
$(1 + x^2 + x^5)^20 = [x^5 + (1 + x^2)]^20 = \sum_{k=0}^{20} {C_{20}}^k x^{5(20-k)} (1+x^2)^k = \sum_{k=0}^{20} {C_{20}}^k x^{100 - 5k} \sum_{m=0}^{k} {C_{20}}^k \sum_{m=0}^{k} {C_k}^m x^{100 - (5k-2m)}$.
Bопрос состоит в следующем: если $k, m = 1, 2, \cdots, 20$, причем $m \leq k$, то какие значения от 0 до 100 принимает выражение $5k - 2m$.
Если $m = 0, 1, 2, 3, 4$, то получим соответственно $5k, 5k - 2, 5k - 4, 5k - 6, 5k - 8$. Если бы $k$ не было связано ограничениями, то мы получили бы все числа, так как в эти пять выражений вошли числа, дающие при делении на 5 в остатке 0, 3, 1, 4 и 2 соответственно. Однако $k = 0, 1,\cdots, 20$ и, кроме того, $k \geq m$. Так как $5k$ получено при $m = 0$, то $k$ может принимать все свои 21 значение, в результате чего получим все числа, кратные 5 от 0 до 100. Рассмотрим теперь числа, которые при делении на 5 дают в остатке 1. У нас они записаны в виде $5k-4$ и получились при $m=2$, в силу чего $k=2, 3, \cdots, 20$. B результате мы получим 19 чисел, дающих при делении на 5 в остатке 1. B эту группу не войдет лишь число. 1. Числа, дающие в остатке 2, записаны в виде $5k - 8$, где $k \geq 4$. Следовательно, $5k - 8 = 12, 17, \cdots, 92$, т. е. выпадают числа 2, 7 и 97. Для чисел вида $5k-2$ переменное $k = 1, 2, \cdots, 20$ и $5k-2 = 3, 8, \cdots, 98$, куда вошли все числа, дающие в остатке 3. Среди чисел вида $5k - 6$, где $k = 3, \cdots, 20$, мы не встретим 4 и 99.
Числа 1, 2, 4, 7, 97 и 99 не могут быть получены из выражения $5k - 2m$ и при $m > 4$. B самом деле, с одной стороны, $5k - 2m \geq 5m - 2m = 3m > 12$, а с другой стороны,
$5k - 2m \leq 5k - 8 \leq 100 - 8 = 92$,
т. е.
$12 < 5k - 2m < 92$.
Итак, выпали 6 чисел 1, 2 , 4, 7, 97 и 99, т. е. будут отсутствовать члены с показателями 99, 98, 96, 93, 3, 1.
Ответ. 95.
Определить число отличных от нуля коэффициентов в разложении
$(1+x^2+x^5)^20 = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_{100} x^{100}$.
Решение:
Преобразуем выражение, стоящее в левой части, следующим образом:
$(1 + x^2 + x^5)^20 = [x^5 + (1 + x^2)]^20 = \sum_{k=0}^{20} {C_{20}}^k x^{5(20-k)} (1+x^2)^k = \sum_{k=0}^{20} {C_{20}}^k x^{100 - 5k} \sum_{m=0}^{k} {C_{20}}^k \sum_{m=0}^{k} {C_k}^m x^{100 - (5k-2m)}$.
Bопрос состоит в следующем: если $k, m = 1, 2, \cdots, 20$, причем $m \leq k$, то какие значения от 0 до 100 принимает выражение $5k - 2m$.
Если $m = 0, 1, 2, 3, 4$, то получим соответственно $5k, 5k - 2, 5k - 4, 5k - 6, 5k - 8$. Если бы $k$ не было связано ограничениями, то мы получили бы все числа, так как в эти пять выражений вошли числа, дающие при делении на 5 в остатке 0, 3, 1, 4 и 2 соответственно. Однако $k = 0, 1,\cdots, 20$ и, кроме того, $k \geq m$. Так как $5k$ получено при $m = 0$, то $k$ может принимать все свои 21 значение, в результате чего получим все числа, кратные 5 от 0 до 100. Рассмотрим теперь числа, которые при делении на 5 дают в остатке 1. У нас они записаны в виде $5k-4$ и получились при $m=2$, в силу чего $k=2, 3, \cdots, 20$. B результате мы получим 19 чисел, дающих при делении на 5 в остатке 1. B эту группу не войдет лишь число. 1. Числа, дающие в остатке 2, записаны в виде $5k - 8$, где $k \geq 4$. Следовательно, $5k - 8 = 12, 17, \cdots, 92$, т. е. выпадают числа 2, 7 и 97. Для чисел вида $5k-2$ переменное $k = 1, 2, \cdots, 20$ и $5k-2 = 3, 8, \cdots, 98$, куда вошли все числа, дающие в остатке 3. Среди чисел вида $5k - 6$, где $k = 3, \cdots, 20$, мы не встретим 4 и 99.
Числа 1, 2, 4, 7, 97 и 99 не могут быть получены из выражения $5k - 2m$ и при $m > 4$. B самом деле, с одной стороны, $5k - 2m \geq 5m - 2m = 3m > 12$, а с другой стороны,
$5k - 2m \leq 5k - 8 \leq 100 - 8 = 92$,
т. е.
$12 < 5k - 2m < 92$.
Итак, выпали 6 чисел 1, 2 , 4, 7, 97 и 99, т. е. будут отсутствовать члены с показателями 99, 98, 96, 93, 3, 1.
Ответ. 95.
