Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2598
2019-03-30 
Для бинома $\left ( \frac{1}{5x} + \frac{2}{5} \right )^n$ найти натуральный показатель $n$, если известно, что десятый член разложения этого бинома имеет наибольший коэффициент.
Решение:
Сравним коэффициент члена разложения с номером $k+1$ с коэффициентом десятого члена разложения:
$C_n^k \frac {2^k}{5^{n-k}5^k} < C_n^9 \frac {2^9}{5^{n-9} 5^9}$.
Так как знаменатели одинаковы, то
$C_n^k 2^k < C_n^9 2^9$.
Поскольку десятый член разложения имеет наибольший коэффициент, то он больше девятого и больше одиннадцатого:
$C_n^8 2^8 < C_n^9 2^9, C_n^{10} 2^{10} < C_n^9 2^9$.
Из первого неравенства следует, что $\frac {n!}{(n-8)! 8!} < \frac {2n!}{(n-9)! 9!}$, т. е. $n > 12,5$. Из второго $\frac {2n!}{(n-10)! 10!} < \frac {n!}{(n-9)! 9!}$, т.е. $n < 14$.
Ответ. $n = 13$.
Для бинома $\left ( \frac{1}{5x} + \frac{2}{5} \right )^n$ найти натуральный показатель $n$, если известно, что десятый член разложения этого бинома имеет наибольший коэффициент.
Решение:
Сравним коэффициент члена разложения с номером $k+1$ с коэффициентом десятого члена разложения:
$C_n^k \frac {2^k}{5^{n-k}5^k} < C_n^9 \frac {2^9}{5^{n-9} 5^9}$.
Так как знаменатели одинаковы, то
$C_n^k 2^k < C_n^9 2^9$.
Поскольку десятый член разложения имеет наибольший коэффициент, то он больше девятого и больше одиннадцатого:
$C_n^8 2^8 < C_n^9 2^9, C_n^{10} 2^{10} < C_n^9 2^9$.
Из первого неравенства следует, что $\frac {n!}{(n-8)! 8!} < \frac {2n!}{(n-9)! 9!}$, т. е. $n > 12,5$. Из второго $\frac {2n!}{(n-10)! 10!} < \frac {n!}{(n-9)! 9!}$, т.е. $n < 14$.
Ответ. $n = 13$.
