Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2597
2019-03-30 
Найти коэффициент при $x^k$ в разложении $(1+x+x^2 + \cdots + x^{n-1})^2$.
Решение:
Предположим, что $0 \leq k \leq n-1$. Запишем данное выражение в виде
$(1+x+x^2+ \cdots + x^{k-1} + x^k + x^{k+1} + \cdots + x^{n-1})^2$.
Члены, содержащие $x^k$, могут быть получены только в результате почленного перемножения членов суммы $1 + x + x^2+ \cdots + x^{k-1} + x^k $ с членами той же суммы, записанной в обратном порядке, т. е.
$1 \cdot x^k, x \cdot x^{k-1}, \cdots, x^{k-1} \cdot x, x^k \cdot 1$.
Так как слагаемых будет $k+1$, то и коэффициент при $x^к$ будет равен $k+1$.
Предположим теперь, что $n-1 < k \leq 2(n-1)$. Тогда нужно почленно перемножить суммы
$x^{k-n+1} + \cdots + x^{n-1}, x^{n-1} + \cdots + x^{k-n+1}$,
в результате чего получим $2n-k-1$ членов, содержащих $x^k$.
Ответ. $k+1$, если $0 \leq k \leq n - 1; 2n - k - 1$, если $n-1 \leq 2n - 2$.
Найти коэффициент при $x^k$ в разложении $(1+x+x^2 + \cdots + x^{n-1})^2$.
Решение:
Предположим, что $0 \leq k \leq n-1$. Запишем данное выражение в виде
$(1+x+x^2+ \cdots + x^{k-1} + x^k + x^{k+1} + \cdots + x^{n-1})^2$.
Члены, содержащие $x^k$, могут быть получены только в результате почленного перемножения членов суммы $1 + x + x^2+ \cdots + x^{k-1} + x^k $ с членами той же суммы, записанной в обратном порядке, т. е.
$1 \cdot x^k, x \cdot x^{k-1}, \cdots, x^{k-1} \cdot x, x^k \cdot 1$.
Так как слагаемых будет $k+1$, то и коэффициент при $x^к$ будет равен $k+1$.
Предположим теперь, что $n-1 < k \leq 2(n-1)$. Тогда нужно почленно перемножить суммы
$x^{k-n+1} + \cdots + x^{n-1}, x^{n-1} + \cdots + x^{k-n+1}$,
в результате чего получим $2n-k-1$ членов, содержащих $x^k$.
Ответ. $k+1$, если $0 \leq k \leq n - 1; 2n - k - 1$, если $n-1 \leq 2n - 2$.
