Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2596
2019-03-30 
Найти число неподобных между собой членов разложения $(а + b + с + d)^n$.
Решение:
Так как
$(a+b+c+d)^n = [(a+b) + (c+d)]^n = (a+b)^n + C_n^1 (a+b)^{n-1} (c+d) + \cdots + (c+d)^n$,
то после раскрытия скобок получим все неподобные члены. Их число будет равно
$(n+1) \cdot 1 + n \cdot 2 + (n-1) \cdot 3 + \cdots + 2n + 1 \cdot (n+1)$,
где для симметрии к крайним членам приписаны множителями единицы. Чтобы вычислить эту сумму, запишем ее $k$-й член: $(n+2-k)k = (n+2)k - k^2$. Тогда наша сумма примет вид
$(n+2) [1 + 2 + \cdots + (n+1)] - [1^2 + 2^2 + \cdots + (n+1)^2] = (n+2) \frac {(n+2)(n+1)}{2} - \frac {(n+1)(n+2)(2n+3)}{6} = (n+1)(n+2) \left (\frac {n+2}{2} - \frac {2n+3}{6} \right )$.
Ответ. $\frac {(n+1)(n+2)(n+3)}{6}$.
Найти число неподобных между собой членов разложения $(а + b + с + d)^n$.
Решение:
Так как
$(a+b+c+d)^n = [(a+b) + (c+d)]^n = (a+b)^n + C_n^1 (a+b)^{n-1} (c+d) + \cdots + (c+d)^n$,
то после раскрытия скобок получим все неподобные члены. Их число будет равно
$(n+1) \cdot 1 + n \cdot 2 + (n-1) \cdot 3 + \cdots + 2n + 1 \cdot (n+1)$,
где для симметрии к крайним членам приписаны множителями единицы. Чтобы вычислить эту сумму, запишем ее $k$-й член: $(n+2-k)k = (n+2)k - k^2$. Тогда наша сумма примет вид
$(n+2) [1 + 2 + \cdots + (n+1)] - [1^2 + 2^2 + \cdots + (n+1)^2] = (n+2) \frac {(n+2)(n+1)}{2} - \frac {(n+1)(n+2)(2n+3)}{6} = (n+1)(n+2) \left (\frac {n+2}{2} - \frac {2n+3}{6} \right )$.
Ответ. $\frac {(n+1)(n+2)(n+3)}{6}$.
