Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2595
2019-03-30 
Найти все значения $n$, при которых какие-либо три последовательных коэффициента разложения бинома $(x + а)^n$ являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии.
Решение:
Условию задачи удовлетворяют такие $n$, для которых равенство
$C_n^{k-1} + C_n^{k+1} = 2C_n^k$ (1)
выполняется хотя бы для одного $k$. Заметим, что $1 \leq k \leq n - 1; n \geq 2$. Равенство (1) перепишем в виде
$\frac {n!}{(n-k+1)! (k-1)!} + \frac {n!}{(n-k+1)! (k+1)!} = 2 \frac {n!}{(n-k)! k!}$,
что после простых преобразований даст
$4k^2 - 4nk + n^2 - n - 2 = 0$,
откуда
$k = \frac {n \pm \sqrt {n+2}}{2}$.
Чтобы выражение в правой части было целым, нужно сначала потребовать
$n+2 = m^2$, т. е. $n = m^2 - 2$.
Поскольку $n \geq 2$, то $m^2 \geq 4$ и $m \geq 2$. Тогда
$k = \frac {m^2 - 2 \pm m}{2}$.
Если взять знак минус, получим
$k_1 = \frac {m^2-m-2}{2} = \frac {(m+1)(m-2)}{2}$. (2)
Число стоящее в числителе, четное при всех $m$. Значение $m=2$ нужно исключить, так как тогда $k_1 = 0$, что невозможно. Если же $m \geq 3$, то $m+1 \geq 4$, а $m-2 \geq 1$. Следовательно, $k_1 \geq 2$. Потребуем теперь, чтобы выполнялось второе условие: $k_1 \leq n-1$, т. е. $\frac {m^2-m-2}{2} \leq m^2 - 3$, что равносильно неравенству $m^2 + m - 4 \geq 0$. Последнее неравенство справедливо при всех $m \geq 3$.
Остается исследовать
$k_2 = \frac {m^2-2+m}{2} = \frac {(m+2)(m-1)}{2}$. (3)
Так как условие $n \geq 2$, из которого следует, что $m \geq 2$, должно выполняться и для $k_2$, то формула (3) по сравнению с (2) может дать лишь одно дополнительное значение: $m=2$. Однако при $m=2$ получим, что $k_2 = 2$ и $n = 2$. Это противоречит требованию $k \leq n-1$. Таким образом, формула (3) не дает новых значений $m$, а следовательно, и $n$.
Ответ. $n = m^2 - 2$, где $m = 3, 4, 5, \cdots$.
Найти все значения $n$, при которых какие-либо три последовательных коэффициента разложения бинома $(x + а)^n$ являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии.
Решение:
Условию задачи удовлетворяют такие $n$, для которых равенство
$C_n^{k-1} + C_n^{k+1} = 2C_n^k$ (1)
выполняется хотя бы для одного $k$. Заметим, что $1 \leq k \leq n - 1; n \geq 2$. Равенство (1) перепишем в виде
$\frac {n!}{(n-k+1)! (k-1)!} + \frac {n!}{(n-k+1)! (k+1)!} = 2 \frac {n!}{(n-k)! k!}$,
что после простых преобразований даст
$4k^2 - 4nk + n^2 - n - 2 = 0$,
откуда
$k = \frac {n \pm \sqrt {n+2}}{2}$.
Чтобы выражение в правой части было целым, нужно сначала потребовать
$n+2 = m^2$, т. е. $n = m^2 - 2$.
Поскольку $n \geq 2$, то $m^2 \geq 4$ и $m \geq 2$. Тогда
$k = \frac {m^2 - 2 \pm m}{2}$.
Если взять знак минус, получим
$k_1 = \frac {m^2-m-2}{2} = \frac {(m+1)(m-2)}{2}$. (2)
Число стоящее в числителе, четное при всех $m$. Значение $m=2$ нужно исключить, так как тогда $k_1 = 0$, что невозможно. Если же $m \geq 3$, то $m+1 \geq 4$, а $m-2 \geq 1$. Следовательно, $k_1 \geq 2$. Потребуем теперь, чтобы выполнялось второе условие: $k_1 \leq n-1$, т. е. $\frac {m^2-m-2}{2} \leq m^2 - 3$, что равносильно неравенству $m^2 + m - 4 \geq 0$. Последнее неравенство справедливо при всех $m \geq 3$.
Остается исследовать
$k_2 = \frac {m^2-2+m}{2} = \frac {(m+2)(m-1)}{2}$. (3)
Так как условие $n \geq 2$, из которого следует, что $m \geq 2$, должно выполняться и для $k_2$, то формула (3) по сравнению с (2) может дать лишь одно дополнительное значение: $m=2$. Однако при $m=2$ получим, что $k_2 = 2$ и $n = 2$. Это противоречит требованию $k \leq n-1$. Таким образом, формула (3) не дает новых значений $m$, а следовательно, и $n$.
Ответ. $n = m^2 - 2$, где $m = 3, 4, 5, \cdots$.
