Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2594
2019-03-30 
Найти сумму $C_n^0 - C_n^2 + C_n^4 - C_n^6 + \cdots + (-1)^kC_n^2k$, где $n-1 \leq 2k \leq n$.
Решение:
Из разложения
$(1+i)^n = C_n^0 + C_n^1 i + C_n^2 i^2 + C_n^3 i^3 + C_n^4 i^4 + \cdots + C_n^n i^n = C_n^0 + C_n^1 i - C_n^2 - C_n^3 i + C_n^4 + \cdots + C_n^n i^n$
выделим действительную часть и приравнивая действительной части комплексного числа $(1+i)^n$. В самом деле,
$(1+i)^n = \left [\sqrt{2} \left ( \cos \frac{ \pi}{4} + i \sin \frac{ \pi}{4} \right ) \right ]^n = \sqrt {2^n} \left (\cos \frac{n \pi}{4} + i \sin \frac{n \pi}{4} \right )$,
т.е.
$C_n^0 - C_n^2 + \cdots + (-1)^k {C_n}^2k = \sqrt {2^n} \cos \frac{n \pi}{4}$,
где $n-1 \leq 2k \leq n$.
Последнее ограничение означает, что через $2k$ обозначено то из чисел $n-1$ и $n$, которое является четным.
Ответ. $\sqrt {2^n} \cos \frac{n \pi}{4}$.
Найти сумму $C_n^0 - C_n^2 + C_n^4 - C_n^6 + \cdots + (-1)^kC_n^2k$, где $n-1 \leq 2k \leq n$.
Решение:
Из разложения
$(1+i)^n = C_n^0 + C_n^1 i + C_n^2 i^2 + C_n^3 i^3 + C_n^4 i^4 + \cdots + C_n^n i^n = C_n^0 + C_n^1 i - C_n^2 - C_n^3 i + C_n^4 + \cdots + C_n^n i^n$
выделим действительную часть и приравнивая действительной части комплексного числа $(1+i)^n$. В самом деле,
$(1+i)^n = \left [\sqrt{2} \left ( \cos \frac{ \pi}{4} + i \sin \frac{ \pi}{4} \right ) \right ]^n = \sqrt {2^n} \left (\cos \frac{n \pi}{4} + i \sin \frac{n \pi}{4} \right )$,
т.е.
$C_n^0 - C_n^2 + \cdots + (-1)^k {C_n}^2k = \sqrt {2^n} \cos \frac{n \pi}{4}$,
где $n-1 \leq 2k \leq n$.
Последнее ограничение означает, что через $2k$ обозначено то из чисел $n-1$ и $n$, которое является четным.
Ответ. $\sqrt {2^n} \cos \frac{n \pi}{4}$.
