Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2593
2019-03-30 
Вычислить сумму $C_n^1 + 2C_n^2 + 3C_n^3 + \cdots + nC_n^n$.
Решение:
Рассмотрим $k$-й член суммы
$k C_n^k = k \frac {n!}{(n-k)! k!} = \frac {n!}{(n-k)! (k-1) !} = n \frac {(n-1) !}{(n-k)! (k-1)!} = n C_{n-1}^{k-1}$.
Данную сумму можно переписать в виде
$n ( C_{n-1}^0 + C_{n-1}^1 + \cdots + C_{n-1}^{k-1}) = n \cdot 2^{n-1}$.
Ответ $n \cdot 2^{n-1}$.
Вычислить сумму $C_n^1 + 2C_n^2 + 3C_n^3 + \cdots + nC_n^n$.
Решение:
Рассмотрим $k$-й член суммы
$k C_n^k = k \frac {n!}{(n-k)! k!} = \frac {n!}{(n-k)! (k-1) !} = n \frac {(n-1) !}{(n-k)! (k-1)!} = n C_{n-1}^{k-1}$.
Данную сумму можно переписать в виде
$n ( C_{n-1}^0 + C_{n-1}^1 + \cdots + C_{n-1}^{k-1}) = n \cdot 2^{n-1}$.
Ответ $n \cdot 2^{n-1}$.
