Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2588
2019-03-30 
Сколькими различными способами можно усадить за круглый стол $n$ человек, если два способа считаются одинаковыми, когда каждый человек имеет тех же соседей (левый и правый соседи не различаются).
Решение:
Присвоим каждому из сидящих за круглым столом номер: $a_1, a_2, \cdots, a_n$. Образовывая циклические перестановки: $a_n, a_1, _2, \cdots, a_{n-1}; a_{n-1}, a_n, a_1, a_2, \cdots, a_{n-2}$ и т. д., мы будем получать тот же способ размещения за столом. Таких циклических перестановок можно составить $n$.
Kроме этого, нужно учесть, что сосед слева и сосед справа неразличимы, т. е. перестановки $a_1, a_2, \cdots, a_n$ и $a_1, a_n, a_{n-1}, \cdots, a_2$ дают одно и то же размещение за столом. Так как всего возможно $n!$ перестановок, из которых каждые $2n$ одинаковы, то искомое число равно $\frac{n!}{2n} = \frac{1}{2} (n-1)!$.
Ответ. $\frac{1}{2} (n-1) !$.
Сколькими различными способами можно усадить за круглый стол $n$ человек, если два способа считаются одинаковыми, когда каждый человек имеет тех же соседей (левый и правый соседи не различаются).
Решение:
Присвоим каждому из сидящих за круглым столом номер: $a_1, a_2, \cdots, a_n$. Образовывая циклические перестановки: $a_n, a_1, _2, \cdots, a_{n-1}; a_{n-1}, a_n, a_1, a_2, \cdots, a_{n-2}$ и т. д., мы будем получать тот же способ размещения за столом. Таких циклических перестановок можно составить $n$.
Kроме этого, нужно учесть, что сосед слева и сосед справа неразличимы, т. е. перестановки $a_1, a_2, \cdots, a_n$ и $a_1, a_n, a_{n-1}, \cdots, a_2$ дают одно и то же размещение за столом. Так как всего возможно $n!$ перестановок, из которых каждые $2n$ одинаковы, то искомое число равно $\frac{n!}{2n} = \frac{1}{2} (n-1)!$.
Ответ. $\frac{1}{2} (n-1) !$.
