Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2587
2019-03-30 
Bычислить выражение $S_n = \cos \frac{ \pi}{n} + \cos \frac{2 \pi}{n} + \cos \frac{3 \pi}{n} + \cdots + \cos {\frac{(n-1) \pi}{n}}$.
Решение:
Домножим $S_n$ на $2 \sin \frac{ \pi}{2n}$:
$2 S_n \sin \frac{ \pi}{2n} = 2 \sin \frac{ \pi}{2n} \cos \frac{ \pi}{n} + 2 \sin \frac{ \pi}{2n} \cos \frac{ 2 \pi}{n} + \cdots + 2 \sin \frac{ \pi}{2n} \cos {\frac {(n-2) \pi}{n}} + 2 \sin \frac{ \pi}{2n} \cos {\frac {(n-1) \pi}{n}} = \sin \frac{3 \pi}{2n} - \sin \frac{\pi}{2n} + \sin \frac{5 \pi}{2n} - \sin \frac{3 \pi}{2n} + \cdots + \sin \frac{(2n-3) \pi}{2n} - \sin \frac {(2n-5) \pi}{2n} + \sin \frac {(2n-1) \pi}{2n} - \sin \frac {(2n-3) \pi}{2n}$.
После приведения подобных получим
$2S_n \sin \frac{\pi}{2n} = - \sin \frac{\pi}{2n} + \sin \frac {(2n-1) \pi}{2n} = - \sin \frac{\pi}{2n} + \sin \left ( \pi - \frac{ \pi}{2n} \right ) = 0$.
Так как $\sin \frac{\pi}{2n} \neq 0$ при натуральных $n$, то $S_n = 0$.
Ответ 0.
Bычислить выражение $S_n = \cos \frac{ \pi}{n} + \cos \frac{2 \pi}{n} + \cos \frac{3 \pi}{n} + \cdots + \cos {\frac{(n-1) \pi}{n}}$.
Решение:
Домножим $S_n$ на $2 \sin \frac{ \pi}{2n}$:
$2 S_n \sin \frac{ \pi}{2n} = 2 \sin \frac{ \pi}{2n} \cos \frac{ \pi}{n} + 2 \sin \frac{ \pi}{2n} \cos \frac{ 2 \pi}{n} + \cdots + 2 \sin \frac{ \pi}{2n} \cos {\frac {(n-2) \pi}{n}} + 2 \sin \frac{ \pi}{2n} \cos {\frac {(n-1) \pi}{n}} = \sin \frac{3 \pi}{2n} - \sin \frac{\pi}{2n} + \sin \frac{5 \pi}{2n} - \sin \frac{3 \pi}{2n} + \cdots + \sin \frac{(2n-3) \pi}{2n} - \sin \frac {(2n-5) \pi}{2n} + \sin \frac {(2n-1) \pi}{2n} - \sin \frac {(2n-3) \pi}{2n}$.
После приведения подобных получим
$2S_n \sin \frac{\pi}{2n} = - \sin \frac{\pi}{2n} + \sin \frac {(2n-1) \pi}{2n} = - \sin \frac{\pi}{2n} + \sin \left ( \pi - \frac{ \pi}{2n} \right ) = 0$.
Так как $\sin \frac{\pi}{2n} \neq 0$ при натуральных $n$, то $S_n = 0$.
Ответ 0.
