Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2586
2019-03-30 
Натуральные числа разбиты на группы (1), (2, 4), (3, 5, 7), (6, 8, 10, 12), (9, 11, 13, 15, 17),... Найти сумму чисел в $n$-й группе.
Решение:
B $n$-й группе содержится $n$ членов.
Пусть $n$ четное. Подсчитаем число четных чисел, встречающихся во всех группах до $n$-й. Это число равно
$2+4+6+ \cdots + (n-2) = \frac {n(n-2)}{4}$.
Следовательно, последнее четное число, встречающееся до $n$-й группы, равно $2 \frac {n(n-2)}{4} = \frac {n(n-2)}{2}$, а первое четное число, входящее в $n$-ю группу, равно
$\frac {n(n-2)}{2} + 2$.
Теперь можно найти сумму $n$ последовательных четных чисел, начинающихся с $\frac {n(n-2)}{2} + 2$. Эта сумма равна
$\frac {2 \left [\frac {n(n-2)}{2} + 2 \right ] + 2(n-1)}{2} n = \frac{n}{2} (n^2 + 2)$.
Пусть теперь $n$ нечетное. Число нечетных членов, встречающихся до $n$-й группы, равно
$1+3+5+ \cdots + (n-2) = \frac {(n-1)^2}{4}$.
Последним нечетным числом, стоящим до $n$-й группы, будет $\frac {(n-1)^2}{2} - 1$, а первым числом, входящим в $n$-ю группу, - число $\frac {(n-1)^2}{2} + 1$.
Следовательно, сумма $n$ последовательных нечетных чисел, начиная с $\frac {(n-1)^2}{2} + 1$ равна
$\frac {2 \left [\frac {(n-1)^2}{2} + 1 \right ] + 2(n-1)}{2} n = \frac{n}{2} (n^2 + 1)$.
Ответы можно объединить.
Ответ. $\frac{n}{2} \left [n^2 + \frac{3}{2} + (-1)^n \frac{1}{2} \right ]$.
Натуральные числа разбиты на группы (1), (2, 4), (3, 5, 7), (6, 8, 10, 12), (9, 11, 13, 15, 17),... Найти сумму чисел в $n$-й группе.
Решение:
B $n$-й группе содержится $n$ членов.
Пусть $n$ четное. Подсчитаем число четных чисел, встречающихся во всех группах до $n$-й. Это число равно
$2+4+6+ \cdots + (n-2) = \frac {n(n-2)}{4}$.
Следовательно, последнее четное число, встречающееся до $n$-й группы, равно $2 \frac {n(n-2)}{4} = \frac {n(n-2)}{2}$, а первое четное число, входящее в $n$-ю группу, равно
$\frac {n(n-2)}{2} + 2$.
Теперь можно найти сумму $n$ последовательных четных чисел, начинающихся с $\frac {n(n-2)}{2} + 2$. Эта сумма равна
$\frac {2 \left [\frac {n(n-2)}{2} + 2 \right ] + 2(n-1)}{2} n = \frac{n}{2} (n^2 + 2)$.
Пусть теперь $n$ нечетное. Число нечетных членов, встречающихся до $n$-й группы, равно
$1+3+5+ \cdots + (n-2) = \frac {(n-1)^2}{4}$.
Последним нечетным числом, стоящим до $n$-й группы, будет $\frac {(n-1)^2}{2} - 1$, а первым числом, входящим в $n$-ю группу, - число $\frac {(n-1)^2}{2} + 1$.
Следовательно, сумма $n$ последовательных нечетных чисел, начиная с $\frac {(n-1)^2}{2} + 1$ равна
$\frac {2 \left [\frac {(n-1)^2}{2} + 1 \right ] + 2(n-1)}{2} n = \frac{n}{2} (n^2 + 1)$.
Ответы можно объединить.
Ответ. $\frac{n}{2} \left [n^2 + \frac{3}{2} + (-1)^n \frac{1}{2} \right ]$.
