Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2585
2019-03-30 
Найти сумму $S_n^4 = 1^4 + 2^4 + 3^4 + \cdots + n^4$, считая известными формулы для $S_n, S_n^2, S_n^3$.
Решение:
Рассмотрим тождество
$(x+1)^5 = x^5 + 5x^4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 1$.
Положим в нем последовательно $x = 1, 2, \cdots, n$ и сложим $n$ полученных равенств:
$2^5 + 3^5 + \cdots + (n+1)^5 = 1 + 2^5 + 3^5 + \cdots + n^5 + 5 (1^4 + 2^4 + \cdots + n^4) + 10 (1^3 + 2^3 + \cdots + n^3) + 10 (1^2 + 2^2 + \cdots + n^2) + 5 (1 + 2 + \cdots + n) + n$.
После приведения подобных получим
$(n+1)^5 = 1 + 5S_n^4 + 10 S_n^3 + 10 S_n^2 + 5S_n + n$,
откуда
$5S_n^4 = (n+1)^5 - 10S_n^3 - 10 S_n^2 - 5S_n - n - 1$.
Так как
$S_n^3 = \frac {n^2 (n+1)^2}{4}, S_n^2 = \frac {n(n+1)(2n+1)}{6}, S_n = \frac {(1+n)n}{2}$,
то
$5S_n^4 = \frac {(n+1)n}{6}(6n^3 + 9n^2 + n - 1)$.
Многочлен третьей степени имеет корень $n = - \frac{1}{2}$ и поэтому делится на $2n + 1$.
Ответ. $\frac{1}{30} n (n+1)(2n+1)(3n^2 + 3n -1)$.
Найти сумму $S_n^4 = 1^4 + 2^4 + 3^4 + \cdots + n^4$, считая известными формулы для $S_n, S_n^2, S_n^3$.
Решение:
Рассмотрим тождество
$(x+1)^5 = x^5 + 5x^4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 1$.
Положим в нем последовательно $x = 1, 2, \cdots, n$ и сложим $n$ полученных равенств:
$2^5 + 3^5 + \cdots + (n+1)^5 = 1 + 2^5 + 3^5 + \cdots + n^5 + 5 (1^4 + 2^4 + \cdots + n^4) + 10 (1^3 + 2^3 + \cdots + n^3) + 10 (1^2 + 2^2 + \cdots + n^2) + 5 (1 + 2 + \cdots + n) + n$.
После приведения подобных получим
$(n+1)^5 = 1 + 5S_n^4 + 10 S_n^3 + 10 S_n^2 + 5S_n + n$,
откуда
$5S_n^4 = (n+1)^5 - 10S_n^3 - 10 S_n^2 - 5S_n - n - 1$.
Так как
$S_n^3 = \frac {n^2 (n+1)^2}{4}, S_n^2 = \frac {n(n+1)(2n+1)}{6}, S_n = \frac {(1+n)n}{2}$,
то
$5S_n^4 = \frac {(n+1)n}{6}(6n^3 + 9n^2 + n - 1)$.
Многочлен третьей степени имеет корень $n = - \frac{1}{2}$ и поэтому делится на $2n + 1$.
Ответ. $\frac{1}{30} n (n+1)(2n+1)(3n^2 + 3n -1)$.
