Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2583
2019-03-30 
Найти сумму $S_n = 1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \cdots + n \cdot n!$.
Решение:
Так как $k \cdot k ! = (k + 1) k ! - k (k-1) !$, то
$S_n = 2 \cdot 1 ! - 1 \cdot 0 ! + 3 \cdot 2 ! - 2 \cdot 1 ! + 4 \cdot 3 ! - 3 \cdot 2 ! + \cdots + (n+1) n ! - n (n-1) !$
После приведения подобных получим
$S_n = (n+1) n ! - 0! = (n+1) ! - 1$.
Ответ. $(n + 1) ! - 1$.
Найти сумму $S_n = 1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \cdots + n \cdot n!$.
Решение:
Так как $k \cdot k ! = (k + 1) k ! - k (k-1) !$, то
$S_n = 2 \cdot 1 ! - 1 \cdot 0 ! + 3 \cdot 2 ! - 2 \cdot 1 ! + 4 \cdot 3 ! - 3 \cdot 2 ! + \cdots + (n+1) n ! - n (n-1) !$
После приведения подобных получим
$S_n = (n+1) n ! - 0! = (n+1) ! - 1$.
Ответ. $(n + 1) ! - 1$.
