Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2582
2019-03-30 
Решить неравенство $|x - 2x^2 + 4x^3 - 8x^4 + \cdots + (-2)^{n-1} x^n + \cdots | < 1$.
Решение:
Неравенство равносильно системе
$\begin{cases} |\frac {x}{1+2x}| < 1 \\ |2x| < 1 \end{cases}$.
Из второго неравенства следует, что $-1 < 2x < 1$, т.е. $1 + 2x > 0$. Поэтому первое неравенство можно переписать в виде
$\frac {|x|}{1+2x} < 1$, или $|x| < 1 + 2x$.
Таким образом, приходим к системе
$\begin{cases} |x| < 1 + 2x \\ - \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2} \end{cases}$,
которая равносильна совокупности двух систем
$\begin{cases} x \geq 0 \\ x < 1 + 2x \\ - \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2} \end{cases}$;
$\begin{cases} x < 0 \\ -x < 1 + 2x \\ - \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2} \end{cases}$.
Ответ. $- \frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}$.
Решить неравенство $|x - 2x^2 + 4x^3 - 8x^4 + \cdots + (-2)^{n-1} x^n + \cdots | < 1$.
Решение:
Неравенство равносильно системе
$\begin{cases} |\frac {x}{1+2x}| < 1 \\ |2x| < 1 \end{cases}$.
Из второго неравенства следует, что $-1 < 2x < 1$, т.е. $1 + 2x > 0$. Поэтому первое неравенство можно переписать в виде
$\frac {|x|}{1+2x} < 1$, или $|x| < 1 + 2x$.
Таким образом, приходим к системе
$\begin{cases} |x| < 1 + 2x \\ - \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2} \end{cases}$,
которая равносильна совокупности двух систем
$\begin{cases} x \geq 0 \\ x < 1 + 2x \\ - \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2} \end{cases}$;
$\begin{cases} x < 0 \\ -x < 1 + 2x \\ - \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2} \end{cases}$.
Ответ. $- \frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}$.
