ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-30   
Найти коэффициент при $x^n$ в разложении $(1 + x + 2x^2 + \cdots + nx^n)^2$.


Решение:


Выписав коэффициенты данного многочлена слева направо и написав под ними коэффициенты того же многочлена, расположенные в обратном порядке, получим

$1, 1, 2, 3, \cdots, n-1, n$,
$n, n-1, n-2, n-3, \cdots, 1, 1$.

Теперь можно выписать коэффициент при $x^n$:

$1 \cdot n + 1 (n-1) + 2(n-2) + 3 (n-3) + \cdots + (n-1)1 + n \cdot 1$.

Эту сумму можно преобразовать так:

$2n+1(n-1) + 2(n-2) + \cdots + (n-1)[n-(n-1)] = 2n + n [1+2+ \cdots + (n-1)] - [1^2 + 2^2 + \cdots + (n-1)^2]$.

Каждую из сумм, стоящих в скобках, легко подсчитать.

$1+2+ \cdots + (n-1) = \frac {(n-1)n}{2}$,
$1^2 + 2^2 + \cdots + (n-1)^2 = \frac {n(n-1)(2n-1)}{6}$.

Таким образом, искомый коэффициент равен

$2n + \frac {n^2(n-1)}{2} - \frac {n(n-1)(2n-1)}{6} = 2n + \frac {n(n-1)(2n-1)}{6} = \frac {n(n^2+11)}{6}$.
Ответ. $\frac {n(n^2+11)}{6}$.