Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2580
2019-03-30 
Найти зависимость между натуральными $n$ и $k$, если $1 + a + a^2 + \cdots + a^n = (1+a)(1+a^2)(1+a^4) \cdots (1+a^{2k})$, где $a \neq 0, 1, -1$.
Решение:
Левую часть данного равенства перепишем в виде
$\frac {a^{n+1} - 1}{a-1}$,
воспользовавшись для этого формулой суммы членов геометрической прогрессии. Тогда (поскольку $a \neq 1$)
$a^{n+1} - 1 = (a-1)(1+a)(1+a^2) \cdots (1+a^{2^k})$.
Правая часть может быть записана так:
$(a^2 - 1)(1 + a^2) \cdots (1+a^{2^k}) = (a^4 - 1) \cdots (1+ a^{2^k}) = a^{2^{k+1}} - 1$.
Итак,
$a^{n+1} = a^{2^{k+1}}$.
По условию $a \neq 0, 1, -1$. Это позволяет найти нужную нам зависимость.
Ответ. $n + 1 = 2^{k+1}$.
Найти зависимость между натуральными $n$ и $k$, если $1 + a + a^2 + \cdots + a^n = (1+a)(1+a^2)(1+a^4) \cdots (1+a^{2k})$, где $a \neq 0, 1, -1$.
Решение:
Левую часть данного равенства перепишем в виде
$\frac {a^{n+1} - 1}{a-1}$,
воспользовавшись для этого формулой суммы членов геометрической прогрессии. Тогда (поскольку $a \neq 1$)
$a^{n+1} - 1 = (a-1)(1+a)(1+a^2) \cdots (1+a^{2^k})$.
Правая часть может быть записана так:
$(a^2 - 1)(1 + a^2) \cdots (1+a^{2^k}) = (a^4 - 1) \cdots (1+ a^{2^k}) = a^{2^{k+1}} - 1$.
Итак,
$a^{n+1} = a^{2^{k+1}}$.
По условию $a \neq 0, 1, -1$. Это позволяет найти нужную нам зависимость.
Ответ. $n + 1 = 2^{k+1}$.
