Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 258
2014-06-07 
Внутри круга радиуса $n \in \mathbf{N}$ расположены $4n$ отрезков длины 1 каждый. Доказать, что если задана некоторая прямая, то найдется другая прямая, либо параллельная, либо перпендикулярная ей и пересекающая по крайней мере два отрезка.
Решение:
Заметим, что сумма длин двух проекций каждого отрезка на заданную прямую $l$ и прямую $l^{\prime}$, ей перпендикулярную, не меньше 1. В самом деле, если вектор $\mathbf{a}$ длины 1 параллелен некоторому отрезку, а векторы $\mathbf{x}$ и $\mathbf{y}$ являются проекциями вектора $\mathbf{a}$ на прямые $l$ и $l^{\prime}$, то $\mathbf{a} = \mathbf{x} + \mathbf{y}$, откуда
$|\mathbf{x}| + |\mathbf{y}| \geq |\mathbf{a}| = 1$.
Но длины проекций отрезка равны $|\mathbf{x}|$ и $\mathbf{y}$, поэтому их сумма также не меньше 1. Следовательно, сумма длин проекций всех отрезков не меньше 4n. Поэтому из двух прямых $l$ и $l^{\prime}$ можно выбрать прямую, сумма длин проекций отрезков на которую не меньше 2n. Так как все отрезки расположены внутри крута радиуса n, то объединение их проекций на любую прямую имеет длину меньше 2n. Следовательно, на выбранной прямой найдется точка, принадлежащая проекциям хотя бы двух отрезков. Прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно выбранной прямой, пересекает по крайней мере эти два отрезка. Так как эта прямая либо перпендикулярна, либо параллельна прямой $l$, то она удовлетворяет условиям задачи.
Внутри круга радиуса $n \in \mathbf{N}$ расположены $4n$ отрезков длины 1 каждый. Доказать, что если задана некоторая прямая, то найдется другая прямая, либо параллельная, либо перпендикулярная ей и пересекающая по крайней мере два отрезка.
Решение:
Заметим, что сумма длин двух проекций каждого отрезка на заданную прямую $l$ и прямую $l^{\prime}$, ей перпендикулярную, не меньше 1. В самом деле, если вектор $\mathbf{a}$ длины 1 параллелен некоторому отрезку, а векторы $\mathbf{x}$ и $\mathbf{y}$ являются проекциями вектора $\mathbf{a}$ на прямые $l$ и $l^{\prime}$, то $\mathbf{a} = \mathbf{x} + \mathbf{y}$, откуда
$|\mathbf{x}| + |\mathbf{y}| \geq |\mathbf{a}| = 1$.
Но длины проекций отрезка равны $|\mathbf{x}|$ и $\mathbf{y}$, поэтому их сумма также не меньше 1. Следовательно, сумма длин проекций всех отрезков не меньше 4n. Поэтому из двух прямых $l$ и $l^{\prime}$ можно выбрать прямую, сумма длин проекций отрезков на которую не меньше 2n. Так как все отрезки расположены внутри крута радиуса n, то объединение их проекций на любую прямую имеет длину меньше 2n. Следовательно, на выбранной прямой найдется точка, принадлежащая проекциям хотя бы двух отрезков. Прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно выбранной прямой, пересекает по крайней мере эти два отрезка. Так как эта прямая либо перпендикулярна, либо параллельна прямой $l$, то она удовлетворяет условиям задачи.
