Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2579
2019-03-30 
Найти сумму $S = \frac {1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac {1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \cdots + \frac {1}{n (n+1)(n+2)}$.
Решение:
Представим $k$-е слагаемое в виде
$\frac {1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{k+1} \cdot \frac{1}{2} \left ( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+2} \right ) = \frac{1}{2} \left [ \frac {1}{k(k+1)} - \frac {1}{(k+1)(k+2)} \right ]$.
Тогда
$S = \frac{1}{2} \left [ \frac{1}{1 \cdot 2} - \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 4} - \frac{1}{4 \cdot 5} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)} - \frac {1}{(n+1)(n+2)} \right ] = \frac{1}{2} \left [ \frac{1}{2} - \frac {1}{(n+1)(n+2)} \right ] = \frac {n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$.
Ответ. $\frac {n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$.
Найти сумму $S = \frac {1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac {1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \cdots + \frac {1}{n (n+1)(n+2)}$.
Решение:
Представим $k$-е слагаемое в виде
$\frac {1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{k+1} \cdot \frac{1}{2} \left ( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+2} \right ) = \frac{1}{2} \left [ \frac {1}{k(k+1)} - \frac {1}{(k+1)(k+2)} \right ]$.
Тогда
$S = \frac{1}{2} \left [ \frac{1}{1 \cdot 2} - \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 4} - \frac{1}{4 \cdot 5} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)} - \frac {1}{(n+1)(n+2)} \right ] = \frac{1}{2} \left [ \frac{1}{2} - \frac {1}{(n+1)(n+2)} \right ] = \frac {n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$.
Ответ. $\frac {n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$.
