Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2578
2019-03-30 
B арифметической прогрессии $а_1, а_2, \cdots, а_n$ первый член равен разности прогрессии: $а_1 = d$. Считая число $n$ данным, найти $S = \frac{1}{a_1a_2} + \frac{1}{a_2a_3} + \frac{1}{a_3a_4} + \cdots + \frac{1}{a_{n-1}a_n}$.
Решение:
Так как
$\frac{1}{a_k} - \frac{1}{a_{k+1}} = \frac {a_{k+1} - a_k}{a_k a_{k+1}} = \frac {d}{a_k a_{k+1}}$,
то
$S_d = \frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_2} - \frac{1}{a_3} + \frac{1}{a_3} - \frac{1}{a_4} + \cdots + \frac{1}{a_{n-1}} - \frac{1}{a_n} = \frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_n} = \frac {a_n - a_1}{a_1a_n} = \frac {n-1}{dn}$.
Ответ. $\frac {n-1}{d^2 n}$.
B арифметической прогрессии $а_1, а_2, \cdots, а_n$ первый член равен разности прогрессии: $а_1 = d$. Считая число $n$ данным, найти $S = \frac{1}{a_1a_2} + \frac{1}{a_2a_3} + \frac{1}{a_3a_4} + \cdots + \frac{1}{a_{n-1}a_n}$.
Решение:
Так как
$\frac{1}{a_k} - \frac{1}{a_{k+1}} = \frac {a_{k+1} - a_k}{a_k a_{k+1}} = \frac {d}{a_k a_{k+1}}$,
то
$S_d = \frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_2} - \frac{1}{a_3} + \frac{1}{a_3} - \frac{1}{a_4} + \cdots + \frac{1}{a_{n-1}} - \frac{1}{a_n} = \frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_n} = \frac {a_n - a_1}{a_1a_n} = \frac {n-1}{dn}$.
Ответ. $\frac {n-1}{d^2 n}$.
