Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2577
2019-03-30 
Доказать неравенство $\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{n^2} < 2$.
Решение:
Докажем, что
$S = \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{n^2} < 1$.
Так как
$\frac {1}{(1+k)^2} < \frac {1}{k(1+k)}$,
то
$S < \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \cdots + \frac{1}{(n-1)n} = \left (1 - \frac{1}{2} \right ) + \left ( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right ) + \cdots + \left ( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} \right ) = 1 - \frac{1}{n} < 1$.
При доказательстве мы воспользовались тем, что $\frac {1}{(n-1)n} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}$. Такой прием часто применяется и называется разложением дроби на простейшие.
Доказать неравенство $\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{n^2} < 2$.
Решение:
Докажем, что
$S = \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{n^2} < 1$.
Так как
$\frac {1}{(1+k)^2} < \frac {1}{k(1+k)}$,
то
$S < \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \cdots + \frac{1}{(n-1)n} = \left (1 - \frac{1}{2} \right ) + \left ( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right ) + \cdots + \left ( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} \right ) = 1 - \frac{1}{n} < 1$.
При доказательстве мы воспользовались тем, что $\frac {1}{(n-1)n} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}$. Такой прием часто применяется и называется разложением дроби на простейшие.
