Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2576
2019-03-30 
Даны два числа: $а$ и $b$. Составим последовательность $a, b, a_1, b_1, a_2, b_2, \cdots, a_n, b_n, \cdots $, каждый член которой, начиная с третьего, равен среднему арифметическому двух предшествующих. Доказать, что $a_n = a + \frac{2}{3} (b-a) \left (1 - \frac{1}{4^n} \right ), b_n = a + \frac{2}{3} (b-a) \left (1+ \frac{1}{2 \cdot 4^n} \right )$, и найти предел этой последовательности.
Решение:
При $n=1$ формулы верны:
$a_1 = a + \frac{2}{3} (b-a) \left (1- \frac{1}{4} \right ) = \frac{a+b}{2}$,
$b_1 = a + \frac{2}{3}(b-a) \left (1+ \frac{1}{8} \right ) = a + \frac{3}{4}(b-a) = \frac{a+3b}{4} = \frac {b+ \frac{a+b}{2}}{2}$.
Предположим, что эти формулы верны для $n=k$, и докажем, что они верны для $n= k+1$:
$a_{k+1} = \frac{a_k + b_k}{2} = \frac{1}{2} \left [ 2a + \frac{2}{3} (b-a) \left (2- \frac{1}{2 \cdot 4^k} \right ) \right ] = \frac{1}{2} \left [2a + \frac{2}{3} (b-a) \cdot 2 \left ( 1 - \frac{1}{4^{k+1}} \right ) \right ] = a + \frac{2}{3} (b-a) \left ( 1 - \frac{1}{4^{k+1}} \right )$,
$b_{k+1} = \frac {b_k + a_{k+1}}{2} = \frac{1}{2} \left [2a + \frac{2}{3} (b-a) \left ( 2+ \frac{1}{2 \cdot 4^k} - \frac{1}{4^{k+1}} \right ) \right ] = \frac{1}{2} \left [2a + \frac{2}{3} (b-a) \left (2+ \frac {4-2}{2 \cdot 4^{k+1}} \right ) \right ] = a + \frac{2}{3} (b-a) \left (1 + \frac{1}{2 \cdot 4^{k+1}} \right )$.
Так как $\lim_{n\rightarrow \infty } { \frac{1}{4^n}} = 0$, то предел последовательности равен $a+ \frac{2}{3}(b-a) = \frac {a+2b}{3}$.
Ответ. $\frac {a+2b}{3}$.
Даны два числа: $а$ и $b$. Составим последовательность $a, b, a_1, b_1, a_2, b_2, \cdots, a_n, b_n, \cdots $, каждый член которой, начиная с третьего, равен среднему арифметическому двух предшествующих. Доказать, что $a_n = a + \frac{2}{3} (b-a) \left (1 - \frac{1}{4^n} \right ), b_n = a + \frac{2}{3} (b-a) \left (1+ \frac{1}{2 \cdot 4^n} \right )$, и найти предел этой последовательности.
Решение:
При $n=1$ формулы верны:
$a_1 = a + \frac{2}{3} (b-a) \left (1- \frac{1}{4} \right ) = \frac{a+b}{2}$,
$b_1 = a + \frac{2}{3}(b-a) \left (1+ \frac{1}{8} \right ) = a + \frac{3}{4}(b-a) = \frac{a+3b}{4} = \frac {b+ \frac{a+b}{2}}{2}$.
Предположим, что эти формулы верны для $n=k$, и докажем, что они верны для $n= k+1$:
$a_{k+1} = \frac{a_k + b_k}{2} = \frac{1}{2} \left [ 2a + \frac{2}{3} (b-a) \left (2- \frac{1}{2 \cdot 4^k} \right ) \right ] = \frac{1}{2} \left [2a + \frac{2}{3} (b-a) \cdot 2 \left ( 1 - \frac{1}{4^{k+1}} \right ) \right ] = a + \frac{2}{3} (b-a) \left ( 1 - \frac{1}{4^{k+1}} \right )$,
$b_{k+1} = \frac {b_k + a_{k+1}}{2} = \frac{1}{2} \left [2a + \frac{2}{3} (b-a) \left ( 2+ \frac{1}{2 \cdot 4^k} - \frac{1}{4^{k+1}} \right ) \right ] = \frac{1}{2} \left [2a + \frac{2}{3} (b-a) \left (2+ \frac {4-2}{2 \cdot 4^{k+1}} \right ) \right ] = a + \frac{2}{3} (b-a) \left (1 + \frac{1}{2 \cdot 4^{k+1}} \right )$.
Так как $\lim_{n\rightarrow \infty } { \frac{1}{4^n}} = 0$, то предел последовательности равен $a+ \frac{2}{3}(b-a) = \frac {a+2b}{3}$.
Ответ. $\frac {a+2b}{3}$.
