ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-30   
Три отличных от нуля действительных числа образуют арифметическую прогрессию, а квадраты этих чисел, взятые в том же порядке, образуют геометрическую прогрессию. Найти всевозможные знаменатели этой геометрической прогрессии.


Решение:


Пусть $\div a, b, c$ и $\div a^2, b^2, c^2$. Другими словами, $2b = a+c$ и $b^4 = a^2c^2$. Если первое уравнение возвести в квадрат

$4b^2 = a^2 + 2ac + c^2$,

а второе записать в виде $b^2 = |ac|$, то, сравнивая левые части этих равенств, найдем, что

$a^2 + 2ac + c^2 = 4 |ac|$.

Если $a$ и $c$ одного знака, получаем уравнение

$a^2-2ac + c^2 = 0$, т. е. $(a-c)^2 = 0$,

откуда $a=c$. Следовательно, $a^2 = c^2$ и знаменатель прогрессии $\div a^2, b^2, c^2$ равен 1. Если $a$ и $c$ разных знаков, получаем уравнение

$a^2+6ac+c^2 = 0$.

Разделим на $a^2$ (по условию $a \neq 0$) и решим уравнение

$\left ( \frac{c}{a} \right )^2 + 6 \frac{c}{a} + 1 = 0$

относительно $\frac{c}{a}$:

$\frac{c}{a} = -3 \pm \sqrt{8}$.

Так как $\frac{c^2}{a^2} = q^2$, то

$q^2 = (-3 \pm \sqrt{8})^2$.

Числа $a^2, b^2$ и $c^2$, образующие геометрическую прогрессию, положительны. Следовательно, $q>0$. Таким образом, из последнего уравнения

$q_{1,2} = 3 \pm \sqrt{8}$.
Ответ. $1, 3+ \sqrt{8}, 3 - \sqrt{8}$.