ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-30   
Три брата, возраст которых образует геометрическую прогрессию, делят между собой некую сумму денег пропорционально своему возрасту. Если бы они это проделали через 3 года, когда самый младший окажется вдвое моложе самого старшего, то младший получил бы на 105, а средний на 15 рублей больше, чем сейчас. Сколько лет каждому из братьев?


Решение:


Пусть братьям $a, aq$ и $aq^2$ лет. Тогда они получат соответственно $x, xq$ и $xq^2$ рублей.

Через 3 года им будет $a+3, aq+3$ и $aq^2+3$ лет, причем старшему окажется вдвое больше лет, чем младшему:

$aq^2 + 3 = 2 (a+3)$ (1).

При дележе через 3 года младший брат получит $x+105$, средний $xq+15$. Чтобы узнать, сколько получит старший брат, вычтем эти деньги из всей суммы:

$x+xq+xq^2 - (x+105) - (xq+15) = xq^2 - 120$.

Так как братья делят деньги пропорционально их возрасту, то получим еще два уравнения:

$\frac {x+105}{a+3} = \frac {xq+15}{aq+3}, \frac {x+105}{a+3} = \frac {xq^2-120}{aq^2+3}$ (2).

Уравнение (1) позволяет записать второе из уравнений (2) так:

$2(x+105) = xq^2 - 120$,

т. е.

$x(q^2 - 2) = 3$. (3)

Если в (1) раскрыть скобки, а затем вынести за скобки $a$, то

$a(q^2-2)=3$. (1')

Сравним с уравнением (3):

$x=110a$.

Первое из уравнений (2) можно переписать так:

$(110a+105)(aq+3) = (110aq+15)(a+3)$.

Раскроем скобки и решим систему, состоящую из уравнения, полученного в результате, и из уравнения (1'):

$\begin{cases} 5aq - 7a = 6 \\ a (q^2-2) = 3 \end{cases}$.

Из первого уравнения $a = \frac {6}{5q-7}$. Подставим во второе. После преобразований получим квадратное уравнение

$6q^2 - 15q + 9 = 0$,

откуда $q_1 = \frac{3}{2}, q_2 = 1$.

Второй корень посторонний, так как тогда всем братьям одинаковое количество лет и никто из них не может через 3 года стать вдвое старше другого.
Ответ. 12, 18, 27.