Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2573
2019-03-30 
Имеющиеся в совхозе комбайны, работая вместе, могут убрать урожай за одни сутки. Однако по плану комбайны возвращались с других полей и вступали в работу последовательно: в первый час работал лишь один комбайн, во второй - два, в третий - три и т. д. до тех пор, пока не начали работать все комбайны, после чего в течение нескольких часов перед завершением уборки урожая действовали все комбайны. Время работы по плану можно было бы сократить на 6 часов, если бы с самого начала уборки постоянно работали все комбайны, за исключением пяти. Сколько было комбайнов в совхозе?
Решение:
Пусть в совхозе было $n$ комбайнов, один смог бы убрать весь урожай за $x$ часов непрерывной работы и при работе по плану все комбайны одновременно находились в поле $y$ часов. Так как все комбайны могут справиться с уборкой за 24 часа, а производительность одного комбайна $1/x$, то
$\frac{24}{x} n = 1$, т.е. $24n = x$.
Если комбайны работают по плану, то, работая вместе, они сделали $n \frac{1}{x} y$ часть всей работы. Кроме этого, первый комбайн работал $n-1$ часов, второй $n-2$, а $n-1$-й работал один час. Учитывая все это, получим уравнение
$\frac {n-1}{x} + \frac {n-2}{x} + \cdots + \frac{1}{x} + n \frac{1}{x} y = 1$,
или
$\frac{n-1}{2} n + ny = x$.
Так как $x = 24n$, то из этого уравнения можно выразить $y$ через $n$:
$y = 24 - \frac{n-1}{2}$.
Наконец, последнее условие задачи можно записать в виде уравнения
$(n+y-7)(n-5) \frac{1}{x} = 1$.
Подставляя вместо $x$ и $y$ их выражения через $n$, придем к квадратному уравнению
$\left ( n+17 - \frac{n-1}{2} \right )(n-5) = 24n$,
т.е. $n^2-18n-175 = 0$.
Решая это уравнение, найдем, что $n_1 = 25, n_2 = -7$. Второй корень не имеет смысла.
Ответ. 25.
Имеющиеся в совхозе комбайны, работая вместе, могут убрать урожай за одни сутки. Однако по плану комбайны возвращались с других полей и вступали в работу последовательно: в первый час работал лишь один комбайн, во второй - два, в третий - три и т. д. до тех пор, пока не начали работать все комбайны, после чего в течение нескольких часов перед завершением уборки урожая действовали все комбайны. Время работы по плану можно было бы сократить на 6 часов, если бы с самого начала уборки постоянно работали все комбайны, за исключением пяти. Сколько было комбайнов в совхозе?
Решение:
Пусть в совхозе было $n$ комбайнов, один смог бы убрать весь урожай за $x$ часов непрерывной работы и при работе по плану все комбайны одновременно находились в поле $y$ часов. Так как все комбайны могут справиться с уборкой за 24 часа, а производительность одного комбайна $1/x$, то
$\frac{24}{x} n = 1$, т.е. $24n = x$.
Если комбайны работают по плану, то, работая вместе, они сделали $n \frac{1}{x} y$ часть всей работы. Кроме этого, первый комбайн работал $n-1$ часов, второй $n-2$, а $n-1$-й работал один час. Учитывая все это, получим уравнение
$\frac {n-1}{x} + \frac {n-2}{x} + \cdots + \frac{1}{x} + n \frac{1}{x} y = 1$,
или
$\frac{n-1}{2} n + ny = x$.
Так как $x = 24n$, то из этого уравнения можно выразить $y$ через $n$:
$y = 24 - \frac{n-1}{2}$.
Наконец, последнее условие задачи можно записать в виде уравнения
$(n+y-7)(n-5) \frac{1}{x} = 1$.
Подставляя вместо $x$ и $y$ их выражения через $n$, придем к квадратному уравнению
$\left ( n+17 - \frac{n-1}{2} \right )(n-5) = 24n$,
т.е. $n^2-18n-175 = 0$.
Решая это уравнение, найдем, что $n_1 = 25, n_2 = -7$. Второй корень не имеет смысла.
Ответ. 25.
