Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2572
2019-03-30 
Найти трехзначное число по следующим условиям: его цифры образуют геометрическую прогрессию; если из него вычесть 594, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке; если цифры искомого числа увеличить соответственно на 1, на 2 и на 1, то получится арифметическая прогрессия.
Решение:
Задачу можно решить, обозначив через $x$ цифру единиц, а через $q$ - знаменатель прогрессии. Используя условия задачи, мы придем к двум уравнениям:
$100xq^2 + 10xq + x - 594 = 100x + 10xq + xq^2, (x+1) + (xq^2 + 1) = 2 (xq+2)$.
Первое уравнение можно переписать в виде
$x(q^2-1) = 6$, а второе - в виде $x(q^2 - 2q + 1) = 2$, т. е. $x(q-1)^2 = 2$.
Деля первое уравнение на второе, получим
$\frac {q+1}{q-1}=3, q = 2$.
Следовательно, $x=2$.
Задачу можно решить перебором, если воспользоваться тем, что цифры числа образуют геометрическую прогрессию, причем цифра сотен больше пяти (так как число больше 594). Можно доказать, что имеются лишь три возможности: 842, 931 и 964. Второе и третье из этих чисел нужно отбросить, так как $931-594 \neq 139$ и $964-594 \neq 469$. Остается убедиться, что для числа 842 все условия задачи выполнены.
Требование, чтобы числа $x+1, xq+2, xq^2 + 1$ образовывали арифметическую прогрессию при таком решении оказывается лишним.
Ответ. 842.
Найти трехзначное число по следующим условиям: его цифры образуют геометрическую прогрессию; если из него вычесть 594, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке; если цифры искомого числа увеличить соответственно на 1, на 2 и на 1, то получится арифметическая прогрессия.
Решение:
Задачу можно решить, обозначив через $x$ цифру единиц, а через $q$ - знаменатель прогрессии. Используя условия задачи, мы придем к двум уравнениям:
$100xq^2 + 10xq + x - 594 = 100x + 10xq + xq^2, (x+1) + (xq^2 + 1) = 2 (xq+2)$.
Первое уравнение можно переписать в виде
$x(q^2-1) = 6$, а второе - в виде $x(q^2 - 2q + 1) = 2$, т. е. $x(q-1)^2 = 2$.
Деля первое уравнение на второе, получим
$\frac {q+1}{q-1}=3, q = 2$.
Следовательно, $x=2$.
Задачу можно решить перебором, если воспользоваться тем, что цифры числа образуют геометрическую прогрессию, причем цифра сотен больше пяти (так как число больше 594). Можно доказать, что имеются лишь три возможности: 842, 931 и 964. Второе и третье из этих чисел нужно отбросить, так как $931-594 \neq 139$ и $964-594 \neq 469$. Остается убедиться, что для числа 842 все условия задачи выполнены.
Требование, чтобы числа $x+1, xq+2, xq^2 + 1$ образовывали арифметическую прогрессию при таком решении оказывается лишним.
Ответ. 842.
