Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2570
2019-03-30 
B бесконечно убывающей геометрической прогрессии сумма всех членов вдвое больше суммы первых $n$ членов. Найти произведение первых $n$ членов, если первый член равен $\sqrt{2}$.
Решение:
Из условия следует, что
$\frac {a_1}{1-q} = 2 \frac {a_1(q^n - 1)}{q-1}$, откуда $q^n = \frac{1}{2}$.
Произведение $n$ первых членов прогрессии равно
$a_1^n q^{1+2+ \cdots+ (n-1)} = 2^{ \frac{n}{2}} q^{\frac {n(n-1)}{2}} = \sqrt {2^n (q^n)^{-1} (q^n)^n} = \sqrt {2^n \cdot 2 \cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^n} = \sqrt{2}$.
Ответ. $\sqrt{2}$.
B бесконечно убывающей геометрической прогрессии сумма всех членов вдвое больше суммы первых $n$ членов. Найти произведение первых $n$ членов, если первый член равен $\sqrt{2}$.
Решение:
Из условия следует, что
$\frac {a_1}{1-q} = 2 \frac {a_1(q^n - 1)}{q-1}$, откуда $q^n = \frac{1}{2}$.
Произведение $n$ первых членов прогрессии равно
$a_1^n q^{1+2+ \cdots+ (n-1)} = 2^{ \frac{n}{2}} q^{\frac {n(n-1)}{2}} = \sqrt {2^n (q^n)^{-1} (q^n)^n} = \sqrt {2^n \cdot 2 \cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^n} = \sqrt{2}$.
Ответ. $\sqrt{2}$.
