Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 257
2014-06-07 
Несколько точек на плоскости расположены так, что расстояние между любыми двумя из них больше 2. Доказать, что любое множество площади меньше $\pi$ можно параллельно перенести по плоскости па вектор длины меньше 1 так, чтобы оно не содержало ни одной из точек.
Решение:
Пусть М - множество площади меньше $\pi, U_{1}, \cdots, U_{n}$ - круги единичного радиуса с центрами о данных точках $A_{1}, \cdots, A_{n}$ соответственно,
$V_{i} = U_{i} \bigcup M (i = 1, \cdots, n)$.
Поскольку расстояния между центрами кругов больше 2, то круги не пересекаются, а значит, не пересекаются и множества $V_{1}, \cdots V_{n}$. С другой стороны, имеем $V_{i} \subset M$, следовательно, площадь множества $V_{1} \bigcup V_{2} \bigcup \cdots \bigcup V_{n} \subset M$ меньше $\pi$. Поэтому, если мысленно с помощью параллельного переноса совместить все круги $U_{i}$ (вместе с содержащимися в них множествами $V_{i}$) в один круг с центром О, то внутри него найдется точка В, не принадлежащая ни одному из образов множеств $V_{i}$. Тогда после параллельного переноса множества М на вектор $\overrightarrow{BO}$ длины меньше 1 центры $A_{i}$ всех кругов $U_{i}$ уже не будут принадлежать этому множеству.
Несколько точек на плоскости расположены так, что расстояние между любыми двумя из них больше 2. Доказать, что любое множество площади меньше $\pi$ можно параллельно перенести по плоскости па вектор длины меньше 1 так, чтобы оно не содержало ни одной из точек.
Решение:
Пусть М - множество площади меньше $\pi, U_{1}, \cdots, U_{n}$ - круги единичного радиуса с центрами о данных точках $A_{1}, \cdots, A_{n}$ соответственно,
$V_{i} = U_{i} \bigcup M (i = 1, \cdots, n)$.
Поскольку расстояния между центрами кругов больше 2, то круги не пересекаются, а значит, не пересекаются и множества $V_{1}, \cdots V_{n}$. С другой стороны, имеем $V_{i} \subset M$, следовательно, площадь множества $V_{1} \bigcup V_{2} \bigcup \cdots \bigcup V_{n} \subset M$ меньше $\pi$. Поэтому, если мысленно с помощью параллельного переноса совместить все круги $U_{i}$ (вместе с содержащимися в них множествами $V_{i}$) в один круг с центром О, то внутри него найдется точка В, не принадлежащая ни одному из образов множеств $V_{i}$. Тогда после параллельного переноса множества М на вектор $\overrightarrow{BO}$ длины меньше 1 центры $A_{i}$ всех кругов $U_{i}$ уже не будут принадлежать этому множеству.
