ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-30   
Решить уравнение $x^3 + x^2 + 2x + a = 0$, зная, что его корни образуют геометрическую прогрессию.


Решение:


Пусть $x_2 = x_1q, x_3 = x_1q^3$. Тогда по теореме Bиета, примененной к данному уравнению, имеем

$x_1 + x_1q + x_1q^2 = -1$,
$x_1^2 q + x_1^2 q^2 + x_1 ^2 q^3 = 2$.

Из первого уравнения получим $x_1 (1 + q + q^2) = -1$. Это позволяет следующим образом преобразовать левую часть второго уравнения:

$x_1^2 q ( 1 + q + q^2) = - x_1 q$,

откуда $x_1 = - \frac{2}{q}$. Подставим выражение для $x-1$ в первое уравнение, получим

$\frac {2 (1+q+q^2)}{q} = 1$, т. е. $2q^2 + q + 2 = 0$

откуда $q_{1,2} = \frac {-1 \pm i \sqrt{15}}{4}$.

Теперь можно найти $x_1$:

$x_1 = - \frac{2}{q} = \frac {-8}{-1 \pm i \sqrt{15}} = \frac {8}{1 \mp i \sqrt{15}} = \frac {1 \pm i \sqrt{15}}{2}$

(обратите внимание, что для $q$ и $x_1$ нужно брать либо в обоих случаях верхние, либо в обоих случаях нижние знаки).

Остается найти $x_2 = qx_1, x_3 = q^2 x_1$.

При $q=q_1$ и $q=q_2$ получаем одно и то же множество корней ($x_1$ и $x_3$ меняются местами).
Ответ. $\frac {1 \pm i \sqrt{15}}{2}, -2, \frac {1 \mp i \sqrt{15}}{2}$.