Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2567
2019-03-30 
При каких значениях $х$ и $у$ последовательность $a_1, a_2, a_3$, где $a_1 = 8^{x+log_2 y}, a_2 = 2^{x-log_2 y}, a_3 = 5y$ является одновременно арифметической и геометрической прогрессией.
Решение:
Из условия следует, что
$\begin{cases} a_1 + a_2 = 2a_2 \\ a_1a_3 = a_2^2 \end{cases}$, т.е. $(\frac {a_1 + a_3}{2})^2 = a_1a_3$,
а следовательно, $(a_1 - a_3)^2 = 0, a_1 = a_3$. Поскольку $a_2 = \frac {a_1 + a_3}{2}$, то $a_2 = a_1$. Таким образом, $a_1 = a_2 = a_3$. решим теперь систему уравнений
$\begin{cases} 8^{x+log_2 y} = 2^{x - log_2 y} \\ 2^{x-log_2 y} = 5y \end{cases}$.
Первое уравнение можно последовательно преобразовать:
$2^{sx+s log_2 y}, x = -2 log_2 y$.
Подставив найденное значение $x$ во второе уравнение системы, получим
$2^{-3 log_2 y} = 5y$, т.е. $\frac{1}{y^3} = 5y, y = \frac{1}{ \sqrt [4]{5}}$.
Теперь можно найти $x$:
$x = -2 log_2 y = \frac{1}{2} log_2 5$.
Ответ. $\frac{1}{2} log_2 5, \frac{1}{ \sqrt [4]{5}}$.
При каких значениях $х$ и $у$ последовательность $a_1, a_2, a_3$, где $a_1 = 8^{x+log_2 y}, a_2 = 2^{x-log_2 y}, a_3 = 5y$ является одновременно арифметической и геометрической прогрессией.
Решение:
Из условия следует, что
$\begin{cases} a_1 + a_2 = 2a_2 \\ a_1a_3 = a_2^2 \end{cases}$, т.е. $(\frac {a_1 + a_3}{2})^2 = a_1a_3$,
а следовательно, $(a_1 - a_3)^2 = 0, a_1 = a_3$. Поскольку $a_2 = \frac {a_1 + a_3}{2}$, то $a_2 = a_1$. Таким образом, $a_1 = a_2 = a_3$. решим теперь систему уравнений
$\begin{cases} 8^{x+log_2 y} = 2^{x - log_2 y} \\ 2^{x-log_2 y} = 5y \end{cases}$.
Первое уравнение можно последовательно преобразовать:
$2^{sx+s log_2 y}, x = -2 log_2 y$.
Подставив найденное значение $x$ во второе уравнение системы, получим
$2^{-3 log_2 y} = 5y$, т.е. $\frac{1}{y^3} = 5y, y = \frac{1}{ \sqrt [4]{5}}$.
Теперь можно найти $x$:
$x = -2 log_2 y = \frac{1}{2} log_2 5$.
Ответ. $\frac{1}{2} log_2 5, \frac{1}{ \sqrt [4]{5}}$.
