Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2566
2019-03-30 
Доказать, что $\sqrt {11 \cdots 1 - 22 \cdots 2} = 33 \cdots 3$, где цифра 1 повторяется $2n$ раз, а цифры 2 и 3 только $n$ раз.
Решение:
Преобразуем выражение, стоящее под корнем:
$\underset{2n \:цифр}{\underbrace {11 \cdots 1}} - \underset{n \:цифр}{\underbrace {22 \cdots 2}} = \frac{1}{9} (\underset{2n \:цифр}{\underbrace {99 \cdots 9}} - 2 \cdot \underset{n \:цифр}{\underbrace {99 \cdots 9}}) = \frac{1}{9} [10^2n - 1 - 2 (10^n - 1)] = \frac{1}{9} (10^2n - 2 \cdot 10^n + 1) = \frac{1}{9} (10^n - 1)^2$.
После извлечения квадратного корня получим
$\frac{1}{3}(10^n - 1) = \frac{1}{3} \underset{n \:цифр}{\underbrace {99 \cdots 9}} = \underset{n \:цифр}{\underbrace {33 \cdots 3}}$.
Доказать, что $\sqrt {11 \cdots 1 - 22 \cdots 2} = 33 \cdots 3$, где цифра 1 повторяется $2n$ раз, а цифры 2 и 3 только $n$ раз.
Решение:
Преобразуем выражение, стоящее под корнем:
$\underset{2n \:цифр}{\underbrace {11 \cdots 1}} - \underset{n \:цифр}{\underbrace {22 \cdots 2}} = \frac{1}{9} (\underset{2n \:цифр}{\underbrace {99 \cdots 9}} - 2 \cdot \underset{n \:цифр}{\underbrace {99 \cdots 9}}) = \frac{1}{9} [10^2n - 1 - 2 (10^n - 1)] = \frac{1}{9} (10^2n - 2 \cdot 10^n + 1) = \frac{1}{9} (10^n - 1)^2$.
После извлечения квадратного корня получим
$\frac{1}{3}(10^n - 1) = \frac{1}{3} \underset{n \:цифр}{\underbrace {99 \cdots 9}} = \underset{n \:цифр}{\underbrace {33 \cdots 3}}$.
