Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2563
2019-03-30 
Доказать, что если положительные числа $a, b, с$ - соответственно $m$-й, $n$-й и $p$-й члены как арифметической, так и геометрической прогрессии, то $a^{b-c}b^{c-a}c^{a-b} = 1$.
Решение:
По условию
$a = a_1 + d(m-1) = u_1q^{m-1}$,
$b = a_1 + d(n-1) = u_1q^{n-1}$,
$c = a_1 + d(p-1) = u_1q^{p-1}$.
Cоставим разности:
$b-c = d(n-p), c-a = d(p-m), a-b = d(m-n)$.
Подставим в левую часть равенства, которое нужно доказать:
$a^{b-c}b^{c-a}c^{a-b} = (u_1 q^{m-1})^{d(n-p)} (u_1q^{n-1})^{d(p-m)} (u_1q^{p-1})^{d(m-n)} = u_1^{d(n-p) + d(p-m) + d(m-n)} q^{d(m-1)(n-p)+d(n-1)(p-m)+d(p-1)(m-n)}$.
После несложных преобразований получим в обоих показателях нули, что и доказывает равенство произведения единице.
Доказать, что если положительные числа $a, b, с$ - соответственно $m$-й, $n$-й и $p$-й члены как арифметической, так и геометрической прогрессии, то $a^{b-c}b^{c-a}c^{a-b} = 1$.
Решение:
По условию
$a = a_1 + d(m-1) = u_1q^{m-1}$,
$b = a_1 + d(n-1) = u_1q^{n-1}$,
$c = a_1 + d(p-1) = u_1q^{p-1}$.
Cоставим разности:
$b-c = d(n-p), c-a = d(p-m), a-b = d(m-n)$.
Подставим в левую часть равенства, которое нужно доказать:
$a^{b-c}b^{c-a}c^{a-b} = (u_1 q^{m-1})^{d(n-p)} (u_1q^{n-1})^{d(p-m)} (u_1q^{p-1})^{d(m-n)} = u_1^{d(n-p) + d(p-m) + d(m-n)} q^{d(m-1)(n-p)+d(n-1)(p-m)+d(p-1)(m-n)}$.
После несложных преобразований получим в обоих показателях нули, что и доказывает равенство произведения единице.
