Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2562
2019-03-30 
Доказать, что если члены $a_p, a_q, a_r, a_s$ арифметической прогрессии образуют геометрическую прогрессию, то последовательность $р-q, q-r, r-s$ является геометрической прогрессией.
Решение:
Так как $a_p, a_q, a_r$ и $a_s$ - члены арифметической прогрессии, то
$a_q - a_p = d (q-p)$,
$a_r - a_q = d (r-q)$,
$a_s - a_r = d (s-r)$.
Kроме того, $a_pa_r = a_q^2, a_qa_s = a_r^2, a_pa_s = a_qa_r$, что отражает условие, в силу которого $a_p, a_q, a_r$ и $a_s$ образуют геометрическую прогрессию. Из первой группы формул имеем
$q-p = \frac{a_q - a_p}{d}, r-q = \frac{a_r-a_q}{d}, s-r = \frac{a_s - a_r}{d}$.
Составим произведение $(p-q)(r-s)$ и воспользуемся второй группой формул:
$(p-q)(r-s) = \frac {(a_q - a_p)(a_s - a_r)}{d^2} = \frac {a_qa_s - a_qa_r - a_qa_r - a_pa_s + a_pa_r}{d^2} = \frac {a_r^2 - 2a_ra_q + a_q^2}{d^2} = \left (\frac {a_r - a_q}{d} \right )^2 = (q - r)^2$,
что и доказывает сформулированное в условии утверждение.
Доказать, что если члены $a_p, a_q, a_r, a_s$ арифметической прогрессии образуют геометрическую прогрессию, то последовательность $р-q, q-r, r-s$ является геометрической прогрессией.
Решение:
Так как $a_p, a_q, a_r$ и $a_s$ - члены арифметической прогрессии, то
$a_q - a_p = d (q-p)$,
$a_r - a_q = d (r-q)$,
$a_s - a_r = d (s-r)$.
Kроме того, $a_pa_r = a_q^2, a_qa_s = a_r^2, a_pa_s = a_qa_r$, что отражает условие, в силу которого $a_p, a_q, a_r$ и $a_s$ образуют геометрическую прогрессию. Из первой группы формул имеем
$q-p = \frac{a_q - a_p}{d}, r-q = \frac{a_r-a_q}{d}, s-r = \frac{a_s - a_r}{d}$.
Составим произведение $(p-q)(r-s)$ и воспользуемся второй группой формул:
$(p-q)(r-s) = \frac {(a_q - a_p)(a_s - a_r)}{d^2} = \frac {a_qa_s - a_qa_r - a_qa_r - a_pa_s + a_pa_r}{d^2} = \frac {a_r^2 - 2a_ra_q + a_q^2}{d^2} = \left (\frac {a_r - a_q}{d} \right )^2 = (q - r)^2$,
что и доказывает сформулированное в условии утверждение.
