Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2561
2019-03-30 
Общий член последовательности $u_n = \frac {n! 2^n}{n^n}$. Является ли эта последовательность возрастающей или убывающей?
Решение:
Сравнивая $n$-й и $(n+1)$-й члены последовательности:
$\frac {n 12^n}{n^n} \vee \frac {(n+1)! 2^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}$,
или после упрощений:
$\frac{1}{n^n} \vee \frac {(n+1) \cdot 2}{(n+1)^{n+1}}$, т.е. $\left ( \frac {n+1}{n} \right )^n \vee 2$.
Так как
$\left ( \frac {n+1}{n} \right )^n = \left (1 + \frac{1}{n} \right )^n = 1 + n \cdot \frac{1}{n} + \cdots$,
где многоточиями обозначены некоторые положительные члены, то
$\left ( \frac {n+1}{n} \right )^n > 2$ при $n > 1$.
Следовательно, последовательность убывающая, начиная со второго члена.
Общий член последовательности $u_n = \frac {n! 2^n}{n^n}$. Является ли эта последовательность возрастающей или убывающей?
Решение:
Сравнивая $n$-й и $(n+1)$-й члены последовательности:
$\frac {n 12^n}{n^n} \vee \frac {(n+1)! 2^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}$,
или после упрощений:
$\frac{1}{n^n} \vee \frac {(n+1) \cdot 2}{(n+1)^{n+1}}$, т.е. $\left ( \frac {n+1}{n} \right )^n \vee 2$.
Так как
$\left ( \frac {n+1}{n} \right )^n = \left (1 + \frac{1}{n} \right )^n = 1 + n \cdot \frac{1}{n} + \cdots$,
где многоточиями обозначены некоторые положительные члены, то
$\left ( \frac {n+1}{n} \right )^n > 2$ при $n > 1$.
Следовательно, последовательность убывающая, начиная со второго члена.
